Programme de colles — PTSI

Pour la question 4, les électrons qui franchissent la section pendant $\mathrm{d}t$ sont exactement ceux qui s'en trouvaient à moins de $v\,\mathrm{d}t$ en amont : il suffit de compter ceux que contient ce cylindre.

Pour la question 5, se demander si ce sont les électrons partis de l'interrupteur qui doivent atteindre la lampe pour qu'elle s'allume.

1. L'intensité est le débit de charge à travers une section du conducteur, c'est-à-dire la charge qui la traverse par unité de temps :
$$I = \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} \qquad [I] = \mathrm{A} = \mathrm{C \cdot s^{-1}}$$

2. Chaque électron porte la charge $e$ en valeur absolue, donc le nombre d'électrons traversant une section par seconde vaut
$$N = \frac{I}{e} = \frac{1{,}0}{1{,}6 \times 10^{-19}} = 6{,}2 \times 10^{18} \text{ électrons par seconde}$$

soit encore $6{,}2 \times 10^{9}$ électrons en une nanoseconde.

3. Même sur une durée aussi brève qu'une nanoseconde, des milliards d'électrons traversent la section. Un électron de plus ou de moins modifie la charge transportée d'une fraction relative de l'ordre de $10^{-10}$, et les fluctuations statistiques, qui varient en $1/\sqrt{N}$, restent de l'ordre de $10^{-5}$. Aucun instrument de mesure usuel ne résout cette granularité : la charge transportée peut être traitée comme une grandeur continue, et l'intensité comme une fonction continue du temps.

La quantification ne redevient perceptible que pour des courants extraordinairement faibles, de quelques électrons par seconde, comme dans certains détecteurs ou en électronique à un électron.

4. Pendant $\mathrm{d}t$, les électrons qui franchissent la section sont ceux qui s'en trouvaient à une distance inférieure à $v\,\mathrm{d}t$ en amont. Ils occupent un cylindre de volume $Sv\,\mathrm{d}t$, et leur nombre vaut $nSv\,\mathrm{d}t$. La charge transportée est donc $\mathrm{d}q = neSv\,\mathrm{d}t$, d'où
$$I = \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} = nevS \qquad \text{soit} \qquad v = \frac{I}{neS} = \frac{1{,}0}{8{,}5 \times 10^{28} \times 1{,}6 \times 10^{-19} \times 1{,}0 \times 10^{-6}} = 7{,}3 \times 10^{-5}\ \mathrm{m \cdot s^{-1}}$$

Les électrons avancent à moins d'un dixième de millimètre par seconde, soit environ 26 cm par heure. Leur charge étant négative, ils se déplacent en sens inverse du sens conventionnel du courant.

5. À cette vitesse, un électron mettrait $10/(7{,}3 \times 10^{-5}) \approx 1{,}4 \times 10^{5}$ s pour parcourir 10 m, soit plus d'une journée et demie.

La lampe s'allume pourtant instantanément, parce que ce ne sont pas les électrons partis de l'interrupteur qui doivent l'atteindre. Le fil est rempli d'électrons de conduction sur toute sa longueur : c'est la mise en mouvement, transmise par le champ électrique à une vitesse proche de celle de la lumière, qui se propage. Tous les électrons du circuit se mettent en mouvement pratiquement en même temps, comme l'eau d'un tuyau déjà plein sort immédiatement quand on ouvre le robinet.

L'ARQS consiste à négliger les effets de propagation : le signal doit avoir parcouru tout le circuit avant d'avoir notablement varié. Il faut donc comparer la durée de propagation à la durée caractéristique de variation du signal, sa période.

1. La durée de propagation vaut $\tau = \dfrac{L}{c}$. L'ARQS consiste à négliger cette durée devant la durée caractéristique de variation du signal : à un instant donné, l'intensité est alors la même en tout point d'une branche. La condition s'écrit
$$\tau \ll T \qquad \text{soit} \qquad L \ll \frac{c}{f} = \lambda$$

Le circuit doit être petit devant la longueur d'onde du signal. C'est le produit $Lf$ qui compte, et non la taille ou la fréquence séparément.

2. Le rapport $L/\lambda$ donne directement la réponse, et le déphasage entre les deux extrémités du circuit vaut $360^\circ \times L/\lambda$.

a) $\lambda = 6 \times 10^{6}$ m, soit 6000 km, et $L/\lambda \approx 2 \times 10^{-7}$ : l'ARQS est très largement valable.

b) $\lambda = 300$ m et $L/\lambda \approx 3 \times 10^{-3}$, soit un déphasage d'environ un degré : l'ARQS reste valable, ce qui justifie son emploi dans tous les montages de TP.

c) $\lambda = 6000$ km et $L/\lambda \approx 0{,}13$ : le déphasage entre les extrémités atteint 50 degrés, l'ARQS n'est pas valable. Les réseaux électriques continentaux doivent être modélisés comme des lignes de propagation.

d) $\lambda = 10$ cm, égale à la longueur des pistes : l'ARQS est totalement inapplicable. La conception des cartes électroniques rapides traite chaque piste comme une ligne de transmission, dont on contrôle l'impédance.

1. Chaque branche apporte au nœud la charge $i_j\,\mathrm{d}t$ pendant $\mathrm{d}t$, donc
$$\delta q = \left(\sum_{j=1}^{k} i_j\right)\mathrm{d}t$$

2. La charge électrique est conservée : elle ne peut être ni créée ni détruite, et la charge portée par le nœud ne varie que par les échanges avec les branches. Si elle reste constante, sa variation pendant $\mathrm{d}t$ est nulle, donc $\delta q = 0$ quel que soit $\mathrm{d}t$, et
$$\sum_{j=1}^{k} i_j = 0$$

3. C'est l'ARQS. Le nœud étant de taille négligeable devant la longueur d'onde, les intensités s'ajustent instantanément dans toutes les branches et aucune charge n'a le temps de s'y accumuler. Hors de ce cadre, par exemple le long d'une antenne, l'intensité n'est plus la même en tout point d'un conducteur et la loi des nœuds sous cette forme ne s'applique plus : il faut revenir à la conservation locale de la charge, étudiée en deuxième année.

4. Il suffit de compter chaque intensité avec un signe : positivement si elle est orientée vers le nœud, négativement sinon. La loi prend alors la forme usuelle
$$\sum i_{\text{entrantes}} = \sum i_{\text{sortantes}}$$

Avec un schéma comme celui du cours, $i_2 = 90°$ donne $i_{lim} = \asin(n_2/n_1)$, c'est l'angle limite d'incidence avant réflexion totale. Passé cette valeur, la loi de réfraction ne peut être vérifiée puisque $\sin(i_2)$ est borné par 1 et que $n_1\sin(i1) > n_2$ si $i_1>i_{lim}$.
Pour qu'il n'y ait pas de réflexion totale il faut que $n_1\sin(i1) < n_2$ quelque soit la valeur de $i_1$, donc $n_1<n_2$ garantie tous les cas de figure.

Traduire d'abord géométriquement la condition de perpendicularité par une relation entre $i_B$ et l'angle de réfraction $r$, puis injecter cette relation dans la loi de Snell-Descartes.

Le rayon réfléchi fait l'angle $i_B$ avec la normale, le rayon réfracté fait l'angle $r$ avec cette même normale, de l'autre côté de l'interface. L'angle entre ces deux rayons vaut $180^\circ - (i_B + r)$.

La condition de perpendicularité s'écrit donc
$$i_B + r = 90^\circ$$

La loi de Snell-Descartes pour la réfraction donne $\sin i_B = n \sin r$, soit
$$\sin i_B = n \sin(90^\circ - i_B) = n \cos i_B$$

d'où
$$\boxed{\tan i_B = n \quad \text{soit} \quad i_B = \arctan n}$$

Applications numériques : pour l'eau ($n = 1{,}33$), $i_B \approx 53^\circ$ ; pour le verre ($n = 1{,}50$), $i_B \approx 56^\circ$.

Interprétation : à cette incidence particulière, la lumière réfléchie est totalement polarisée perpendiculairement au plan d'incidence. Un filtre polarisant convenablement orienté supprime alors complètement le reflet — c'est ce que montrent les deux photographies, prises avec et sans filtre.

Le rayon entre en incidence normale : il n'est pas dévié à la traversée de la face supérieure. Exprimer ensuite l'angle d'incidence sur chaque face en fonction de $\alpha$, en se souvenant que deux faces faisant entre elles l'angle $\alpha$ ont des normales faisant également l'angle $\alpha$. Sur une face verre-air, la réflexion est totale si l'angle d'incidence dépasse l'angle limite $i_\ell$ tel que $\sin i_\ell = 1/n$.

1. Suivons le rayon issu du grimpeur.

— Entrée par la face supérieure : le rayon arrive en incidence normale, il n'est donc pas dévié et pénètre dans le verre en gardant sa direction.

— Réflexion sur la face inférieure : le rayon est porté par la normale à la face supérieure, et les normales aux deux faces font entre elles le même angle $\alpha$ que les faces. L'angle d'incidence sur la face inférieure vaut donc $\alpha = 30^\circ$. Le rayon réfléchi repart symétriquement par rapport à cette normale.

— Réflexion sur la face supérieure : le rayon réfléchi fait l'angle $\alpha$ avec la verticale d'un côté, la normale à la face supérieure fait l'angle $\alpha$ avec la verticale de l'autre côté. L'angle d'incidence vaut donc
$$\theta = 2\alpha = 60^\circ$$

— Sortie par la face verticale : après cette seconde réflexion, le rayon fait l'angle $\alpha = 30^\circ$ avec la face supérieure, laquelle est inclinée de $30^\circ$ : le rayon ressort donc horizontalement, en incidence normale sur la face verticale, sans être dévié.

Bilan : le rayon incident descendait à $60^\circ$ sous l'horizontale, le rayon émergent est horizontal. La ligne de visée est déviée de $60^\circ$ : l'assureur regarde à l'horizontale et voit le grimpeur situé $60^\circ$ au-dessus de lui, sans lever la tête. Les deux réflexions successives rétablissent par ailleurs le sens de l'image, qui n'apparaît pas inversée.

2. Sur la face supérieure, la lumière va du verre ($n$) vers l'air (indice 1) sous l'incidence $\theta = 2\alpha = 60^\circ$. La réflexion est totale si $\theta$ dépasse l'angle limite, c'est-à-dire si
$$\sin(2\alpha) > \frac{1}{n} \quad \text{soit} \quad n > \frac{1}{\sin 60^\circ} = \frac{2}{\sqrt{3}}$$

$$\boxed{n > 1{,}15}$$

Comparaison : le verre ordinaire ($n \approx 1{,}5$) et le PMMA ($n \approx 1{,}49$) satisfont largement cette condition — l'eau elle-même ($n = 1{,}33$) conviendrait. La réflexion sur la face supérieure est donc totale sans aucun traitement.

Remarque : il en va tout autrement de la face inférieure, où l'incidence n'est que de $\alpha = 30^\circ$. Il faudrait alors $n > 1/\sin 30^\circ = 2$, valeur inaccessible aux verres courants (il faudrait du diamant, $n \approx 2{,}4$). C'est bien cette face-là, et elle seule, qui doit être métallisée pour réfléchir toute la lumière.

Le rayon subit deux réfractions successives : air → verre sur la face d'entrée, puis verre → liquide sur la face supérieure. Attention, l'angle d'incidence sur la face supérieure est le complémentaire de l'angle de réfraction sur la face d'entrée.

On note $r$ l'angle de réfraction dans le verre sur la face d'entrée :
$$\sin i = n_v \sin r$$

Les deux faces étant perpendiculaires, l'angle d'incidence sur la face supérieure vaut $\theta = 90^\circ - r$.

1. Dans la goutte, la loi de Snell-Descartes s'écrit $n_v \sin \theta = n_\ell \sin r'$, soit
$$\sin r' = \frac{n_v}{n_\ell} \cos r$$

Quand $i$ augmente, $r$ augmente, donc $\cos r$ diminue et $r'$ diminue : le faisceau réfracté dans la goutte se rapproche de la normale à la face supérieure.

Pour $i$ suffisamment petit, $\cos r$ est grand et la relation impose $\sin r' > 1$ : la réfraction est impossible, il y a réflexion totale sur la face supérieure et la goutte n'est pas éclairée. La goutte ne s'illumine qu'à partir de $i = i_\text{lim}$, ce qui prouve bien que pour $i < i_\text{lim}$ aucune lumière n'y pénètre.

2. À la limite $i = i_\text{lim}$, le rayon réfracté est rasant, $r' = 90^\circ$ :
$$n_\ell = n_v \cos r_\text{lim}$$

Or $\sin r_\text{lim} = \dfrac{\sin i_\text{lim}}{n_v}$, donc $\cos r_\text{lim} = \dfrac{\sqrt{n_v^2 - \sin^2 i_\text{lim}}}{n_v}$, d'où
$$\boxed{n_\ell = \sqrt{n_v^2 - \sin^2 i_\text{lim}}}$$

3. L'angle d'incidence accessible varie de $0$ à $90^\circ$ :

— pour $i_\text{lim} = 0$ : $n_\ell = n_v = 1{,}50$ ;

— pour $i_\text{lim} = 90^\circ$ : $n_\ell = \sqrt{n_v^2 - 1} = \sqrt{1{,}25} \approx 1{,}12$.

L'appareil mesure donc des indices compris entre 1,12 et 1,50. La borne supérieure était prévisible : il faut $n_\ell < n_v$ pour qu'une réflexion totale soit possible à l'interface verre-liquide.

Le rayon arrive perpendiculairement à la table : il n'est pas dévié en entrant, il descend donc verticalement dans la pierre.

Faites une coupe et tracez la **normale** à une facette de culasse. Si la facette fait l'angle $\alpha$ avec l'horizontale, sa normale fait le même angle $\alpha$ avec la verticale : l'angle d'incidence sur la première facette se lit alors directement.

Après cette réflexion, le rayon a tourné de $2\alpha$. Reportez cet écart sur la seconde facette de culasse, dont la normale est inclinée de $\alpha$ de l'autre côté : une simple chasse aux angles donne la seconde incidence.

Il reste à écrire deux fois la même condition, $i > i_\ell$ avec $\sin i_\ell = \dfrac{1}{n}$.

### 1. Domaine des angles de culasse

**Entrée par la table.** L'incidence est normale : le rayon n'est pas dévié et se propage verticalement dans le diamant.

**Angle limite.** La réflexion totale interne se produit pour $i > i_\ell$ avec
$$\sin i_\ell = \frac{1}{n} = \frac{1}{2{,}42} = 0{,}413 \qquad\Longrightarrow\qquad i_\ell = 24{,}4^\circ$$

**Première facette de culasse.** La facette fait l'angle $\alpha$ avec l'horizontale, donc sa normale fait l'angle $\alpha$ avec la verticale. Le rayon étant vertical :
$$i_1 = \alpha$$
Première condition : $\alpha > 24{,}4^\circ$.

**Seconde facette.** Après réflexion, le rayon repart en faisant un angle $2\alpha$ avec la verticale, dirigé vers la facette opposée. La normale de celle-ci est inclinée de $\alpha$ de l'autre côté de la verticale : l'angle entre le rayon et cette normale vaut donc $2\alpha + \alpha = 3\alpha$. Comme $3\alpha$ dépasse $90^\circ$, l'angle d'incidence est son supplémentaire :
$$i_2 = 180^\circ - 3\alpha$$
Seconde condition : $180^\circ - 3\alpha > 24{,}4^\circ$, soit $\alpha < \dfrac{180^\circ - 24{,}4^\circ}{3} = 51{,}9^\circ$.

**Conclusion.**
$$\boxed{24{,}4^\circ < \alpha < 51{,}9^\circ}$$

### 2. Le cas $\alpha = 41{,}5^\circ$

$$i_1 = 41{,}5^\circ > 24{,}4^\circ \qquad\text{et}\qquad i_2 = 180^\circ - 3\times 41{,}5^\circ = 55{,}5^\circ > 24{,}4^\circ$$

Les deux réflexions sont bien totales : l'angle de taille usuel est **compatible** avec le domaine trouvé. Il s'en trouve même confortablement à l'intérieur, avec $17{,}1^\circ$ de marge sur la première condition et $10{,}4^\circ$ sur la seconde — c'est donc la seconde réflexion qui est la plus contraignante.

### Remarque : pourquoi $41{,}5^\circ$ et pas $30^\circ$ ?

La réflexion totale ne suffit pas à faire briller une pierre : encore faut-il que la lumière **ressorte par le haut**, vers l'observateur. Après les deux réflexions, on montre que le rayon fait avec la verticale l'angle $|180^\circ - 4\alpha|$. Pour qu'il franchisse la table, il faut que cet angle reste inférieur à $i_\ell$, soit
$$38{,}9^\circ < \alpha < 51{,}1^\circ$$
condition bien plus sévère que la précédente, et que $41{,}5^\circ$ satisfait (le rayon ressort à $14^\circ$ de la verticale). Le choix réel de l'angle de culasse résulte d'un compromis entre cet éclat, la dispersion des couleurs et la masse conservée lors de la taille.

Le centre de courbure du dioptre sphérique est le centre O de la face plane : la normale au point d'impact est donc portée par le rayon du cercle. Dans le triangle formé par ce centre, le point d'impact et le point A, la relation des sinus donne directement la position de A.

1. Le rayon est parallèle à l'axe optique, donc perpendiculaire à la face plane d'entrée. Il arrive en incidence normale et n'est pas dévié : il traverse la face plane sans changer de direction.

2. Sur le dioptre sphérique de sortie, la normale au point d'impact M est portée par le rayon du cercle, c'est-à-dire par la droite OM où O est le centre de la face plane. En notant $i_1$ l'angle d'incidence interne et $i_2$ l'angle de réfraction dans l'air, le rayon horizontal fait avec OM l'angle $i_1$ tel que
$$\sin i_1 = \frac{h}{R} \qquad \text{et} \qquad n \sin i_1 = \sin i_2 \quad \text{donc} \quad \sin i_2 = \frac{nh}{R}$$

3. Dans le triangle OMA, l'angle en O vaut $i_1$, l'angle en M vaut $180^\circ - i_2$ et donc l'angle en A vaut $i_2 - i_1$. La relation des sinus donne
$$\frac{\overline{\text{OA}}}{\sin(180^\circ - i_2)} = \frac{R}{\sin(i_2 - i_1)} \qquad \text{soit} \qquad \overline{\text{OA}} = R\,\frac{\sin i_2}{\sin(i_2 - i_1)}$$

et comme $\overline{\text{OS}} = R$ :
$$\boxed{\overline{\text{SA}} = R\left(\frac{\sin i_2}{\sin(i_2 - i_1)} - 1\right)} \qquad \text{avec} \quad \sin i_1 = \frac{h}{R}, \quad \sin i_2 = \frac{nh}{R}$$

Le point A dépend de $h$ : le système n'est pas rigoureusement stigmatique. C'est l'aberration de sphéricité.

4. Le punctum proximum d'un œil emmétrope est à 25 cm et sa résolution angulaire vaut environ $3 \times 10^{-4}$ rad, soit une minute d'arc. À 25 cm, l'écart minimal résolu est donc
$$\varepsilon = 0{,}25 \times 3\times 10^{-4} \approx 75\ \text{µm}$$

5. Pour $h$ petit, les angles sont petits : $i_1 \simeq h/R$, $i_2 \simeq nh/R$ et $i_2 - i_1 \simeq (n-1)h/R$, d'où la position paraxiale
$$\overline{\text{OA}}_{\text{par}} = \frac{nR}{n-1} = \frac{1{,}6 \times 100}{0{,}6} \approx 267\ \text{mm} \qquad \overline{\text{SA}}_{\text{par}} \approx 167\ \text{mm}$$

Les rayons marginaux coupent l'axe avant ce point, et forment dans le plan focal paraxial une tache dont le diamètre croît très vite avec $h$ :

$h = 2$ mm : tache de 2 µm ; $h = 5$ mm : 32 µm ; $h = 10$ mm : 260 µm ; $h = 20$ mm : 2,2 mm.

La condition $2|y| < \varepsilon = 75$ µm donne $h_m \approx 6{,}6$ mm, soit
$$h \in [-6{,}6\ \text{mm}\ ;\ 6{,}6\ \text{mm}] \qquad \text{c'est-à-dire} \qquad \frac{h}{R} < 7\ %$$

Seule une étroite calotte centrale du dioptre, de rayon quinze fois plus petit que celui de la sphère, travaille dans les conditions du stigmatisme approché. C'est bien cette zone utile, et non l'épaisseur du verre, que désigne l'appellation « lentille mince ».

6. Pour un capteur de 5 µm de pixel, la même condition donne $h_m \approx 2{,}7$ mm, soit $h/R < 3\ %$. Le capteur étant quinze fois plus résolvant que l'œil, il est bien plus exigeant sur le diaphragme : c'est la raison pour laquelle on ferme le diaphragme d'un objectif photographique pour gagner en netteté.

7. La flèche HS vaut $R - \sqrt{R^2 - h^2} \simeq \dfrac{h^2}{2R}$, soit 0,22 mm pour $h = 6{,}6$ mm, à comparer à $\overline{\text{SA}} \approx 167$ mm. Elle est mille fois plus petite : dans les conditions du stigmatisme approché, il est légitime de confondre H, S et le centre optique O de la lentille équivalente. La distance focale image de la lentille hémisphérique est donc
$$f' = \overline{\text{SA}}_{\text{par}} = \frac{nR}{n-1} - R = \frac{R}{n-1} \approx 167\ \text{mm}$$

L'image A' du point objet ne se forme pas dans le plan focal, mais un peu après : la tache observée dans le plan focal est la section du faisceau convergent à cet endroit. Deux triangles semblables suffisent à la calculer.

2. La formule de Descartes donne la position de l'image : $\dfrac{1}{\overline{\text{OA}'}} = \dfrac{1}{f'} - \dfrac{1}{D}$, soit $\overline{\text{OA}'} = \dfrac{f'D}{D-f'}$, située après le plan focal image.

Le faisceau émergent est un cône qui s'appuie sur toute la lentille (diamètre $L$) et converge en A'. Dans le plan focal, à la distance $f'$, le théorème de Thalès donne
$$\frac{\ell}{L} = \frac{\overline{\text{OA}'} - f'}{\overline{\text{OA}'}} = 1 - \frac{f'}{\overline{\text{OA}'}}$$

En remplaçant $\overline{\text{OA}'}$ par son expression, $\dfrac{f'}{\overline{\text{OA}'}} = \dfrac{D-f'}{D} = 1 - \dfrac{f'}{D}$, d'où le résultat remarquablement simple
$$\boxed{\ell = \frac{L f'}{D}}$$

On peut le retrouver directement : $\ell = \alpha f'$ avec $\alpha = L/D$ le diamètre angulaire de la lentille vu depuis l'objet.

3. La tache est indiscernable d'un point si $\ell < h$, soit
$$\frac{Lf'}{D} < h \qquad \text{c'est-à-dire} \qquad D > \frac{Lf'}{h}$$

Plus le détecteur est résolvant (plus $h$ est petit), plus la distance à partir de laquelle l'objet peut être considéré comme à l'infini est grande. La notion d'infini n'a donc rien d'absolu : elle dépend de l'instrument d'observation.

4. Pour un objet réellement à l'infini, les rayons incidents sont parallèles et convergent exactement en F' : la tache est réduite à un point. La condition $D > Lf'/h$ exprime que l'objet, sans être à l'infini, se comporte comme s'il y était du point de vue du détecteur : les deux situations sont expérimentalement indiscernables.

5. La tache de diffraction due à la pupille circulaire de diamètre $L$ a un diamètre angulaire de l'ordre de $\lambda/L$, soit une taille dans le plan focal
$$\ell_{\text{diff}} \sim \frac{\lambda f'}{L}$$

Avec $\lambda = 500$ nm, $f' = 100$ mm et $L = 2$ cm, cela donne quelques micromètres. Aucun détecteur associé à cette lentille ne peut donc résoudre mieux que cette taille : $h$ ne peut pas descendre en dessous de $\ell_{\text{diff}}$. En reportant dans la condition précédente, la distance à partir de laquelle l'objet est à l'infini reste bornée :
$$D > \frac{Lf'}{\ell_{\text{diff}}} \sim \frac{L^2}{\lambda}$$

soit quelques centaines de mètres pour les valeurs ci-dessus. C'est l'optique ondulatoire qui met une limite à un raisonnement d'optique géométrique.

6. Un objet est à l'infini lorsque la tache qu'il forme dans le plan focal image est trop petite pour être distinguée d'un point par le détecteur utilisé. Ce n'est pas une propriété de l'objet seul, mais du triplet objet-lentille-détecteur.

7. La formule de Descartes s'écrit $\dfrac{1}{\overline{\text{OA}'}} = \dfrac{1}{f'} + \dfrac{1}{\overline{\text{OA}}}$. Quand $\overline{\text{OA}} \to -\infty$, le terme $1/\overline{\text{OA}}$ tend vers zéro et $\overline{\text{OA}'} \to f'$ : l'image se forme dans le plan focal image. C'est la définition même du foyer image.

Pour une lentille convergente, un faisceau parallèle à l'axe converge réellement après la lentille : F' est situé après O dans le sens de propagation, donc $f' = \overline{\text{OF}'} > 0$, et la vergence $V = 1/f'$ est positive.

Pour une lentille divergente, le faisceau émergent diverge et seuls ses prolongements se croisent, avant la lentille : F' est situé avant O, donc $f' < 0$ et $V < 0$.

Le foyer objet F, symétrique de F' par rapport à O, est donc avant la lentille pour une convergente et après pour une divergente. Cette inversion est la source d'erreur la plus fréquente dans les constructions.

L'image A' du point objet ne se forme pas dans le plan focal, mais un peu après : la tache observée dans le plan focal est la section du faisceau convergent à cet endroit. Deux triangles semblables suffisent à la calculer.

2. La formule de Descartes donne la position de l'image : $\dfrac{1}{\overline{\text{OA}'}} = \dfrac{1}{f'} - \dfrac{1}{D}$, soit $\overline{\text{OA}'} = \dfrac{f'D}{D-f'}$, située après le plan focal image.

Le faisceau émergent est un cône qui s'appuie sur toute la lentille (diamètre $L$) et converge en A'. Dans le plan focal, à la distance $f'$, le théorème de Thalès donne
$$\frac{\ell}{L} = \frac{\overline{\text{OA}'} - f'}{\overline{\text{OA}'}} = 1 - \frac{f'}{\overline{\text{OA}'}}$$

En remplaçant $\overline{\text{OA}'}$ par son expression, $\dfrac{f'}{\overline{\text{OA}'}} = \dfrac{D-f'}{D} = 1 - \dfrac{f'}{D}$, d'où le résultat remarquablement simple
$$\boxed{\ell = \frac{L f'}{D}}$$

On peut le retrouver directement : $\ell = \alpha f'$ avec $\alpha = L/D$ le diamètre angulaire de la lentille vu depuis l'objet.

3. La tache est indiscernable d'un point si $\ell < h$, soit
$$\frac{Lf'}{D} < h \qquad \text{c'est-à-dire} \qquad D > \frac{Lf'}{h}$$

Plus le détecteur est résolvant (plus $h$ est petit), plus la distance à partir de laquelle l'objet peut être considéré comme à l'infini est grande. La notion d'infini n'a donc rien d'absolu : elle dépend de l'instrument d'observation.

4. Pour un objet réellement à l'infini, les rayons incidents sont parallèles et convergent exactement en F' : la tache est réduite à un point. La condition $D > Lf'/h$ exprime que l'objet, sans être à l'infini, se comporte comme s'il y était du point de vue du détecteur : les deux situations sont expérimentalement indiscernables.

5. La tache de diffraction due à la pupille circulaire de diamètre $L$ a un diamètre angulaire de l'ordre de $\lambda/L$, soit une taille dans le plan focal
$$\ell_{\text{diff}} \sim \frac{\lambda f'}{L}$$

Avec $\lambda = 500$ nm, $f' = 100$ mm et $L = 2$ cm, cela donne quelques micromètres. Aucun détecteur associé à cette lentille ne peut donc résoudre mieux que cette taille : $h$ ne peut pas descendre en dessous de $\ell_{\text{diff}}$. En reportant dans la condition précédente, la distance à partir de laquelle l'objet est à l'infini reste bornée :
$$D > \frac{Lf'}{\ell_{\text{diff}}} \sim \frac{L^2}{\lambda}$$

soit quelques centaines de mètres pour les valeurs ci-dessus. C'est l'optique ondulatoire qui met une limite à un raisonnement d'optique géométrique.

6. Un objet est à l'infini lorsque la tache qu'il forme dans le plan focal image est trop petite pour être distinguée d'un point par le détecteur utilisé. Ce n'est pas une propriété de l'objet seul, mais du triplet objet-lentille-détecteur.

7. La formule de Descartes s'écrit $\dfrac{1}{\overline{\text{OA}'}} = \dfrac{1}{f'} + \dfrac{1}{\overline{\text{OA}}}$. Quand $\overline{\text{OA}} \to -\infty$, le terme $1/\overline{\text{OA}}$ tend vers zéro et $\overline{\text{OA}'} \to f'$ : l'image se forme dans le plan focal image. C'est la définition même du foyer image.

1. La formule de Descartes s'écrit directement $y - x = 1/f'$, soit
$$y = x + \frac{1}{f'}$$

L'ensemble des couples possibles est donc une droite de pente 1, d'ordonnée à l'origine $1/f'$ : positive pour une lentille convergente, négative pour une divergente. Toute la théorie des lentilles minces tient dans cette unique droite.

2. L'objet est réel si $\overline{\text{OA}} < 0$, donc si $x < 0$, et virtuel si $x > 0$. L'image est réelle si $y > 0$ et virtuelle si $y < 0$. Les quatre quadrants du plan correspondent donc aux quatre combinaisons, et les portions de la droite qui les traversent redonnent exactement les tableaux du cours.

3. Posons $\overline{\text{OA}} = -p$ avec $p > 0$ pour un objet réel, et $\overline{\text{OA}'} = p' > 0$ pour une image réelle. La formule de conjugaison devient
$$\frac{1}{p} + \frac{1}{p'} = \frac{1}{f'}$$

et la distance objet-image vaut $D = p + p'$. En multipliant les deux membres :
$$\frac{D}{f'} = (p + p')\left(\frac{1}{p} + \frac{1}{p'}\right) = 2 + \frac{p}{p'} + \frac{p'}{p} \geqslant 4$$

la dernière inégalité venant de $u + 1/u \geqslant 2$ pour tout $u > 0$, avec égalité si et seulement si $p = p'$. On a donc $D \geqslant 4f'$.

Conséquence pratique très utile en travaux pratiques : avec une lentille de focale 200 mm, il est impossible de former une image réelle si l'écran est à moins de 80 cm de l'objet, quelle que soit la position de la lentille. Et à la distance minimale, l'image est de même taille que l'objet.

Un objet à l'infini hors de l'axe envoie sur la lentille un faisceau de rayons parallèles entre eux, mais inclinés d'un angle $\theta$ sur l'axe optique.

Parmi ces rayons, celui qui passe par le centre optique O n'est pas dévié : il donne immédiatement la direction de l'image. Son intersection avec le plan focal image définit le foyer secondaire image B', et tous les autres rayons du faisceau émergent en passant par ce même point.

L'image est donc située dans le plan focal image, à la distance $f' \tan \theta$ de l'axe. Pour une lentille divergente, la construction est identique, mais le plan focal image est situé avant la lentille et B' est le point de convergence des prolongements des rayons émergents : l'image est virtuelle.

Le foyer image F' est par définition l'image d'un objet situé à l'infini sur l'axe optique. Par retour inverse de la lumière, un objet placé au foyer objet F a donc son image à l'infini sur l'axe optique.

Le faisceau émergent est un faisceau de rayons parallèles à l'axe. C'est le principe du collimateur, utilisé pour produire un faisceau parallèle à partir d'une source ponctuelle, et celui du projecteur.

Si le deuxième système est placé après A', les rayons issus de A' se croisent effectivement avant de l'atteindre : A' est un objet réel pour le deuxième système.

Si au contraire le deuxième système est placé avant A', les rayons sont interceptés avant de s'être croisés. Ils convergent vers un point situé après le système : A' est alors un objet virtuel pour celui-ci.

C'est la seule façon d'obtenir un objet virtuel en pratique : il faut interposer un système optique sur un faisceau convergent. Un objet virtuel n'existe donc jamais seul, il est toujours l'image donnée par un système placé en amont.

La Lune est un objet à l'infini : son image se forme dans le plan focal image. Le rayon passant par le centre optique n'étant pas dévié, il donne directement la taille de l'image.

La Lune étant à l'infini, son image se forme dans le plan focal image. Le rayon issu du bord de la Lune et passant par le centre optique n'est pas dévié : il fait donc l'angle $\alpha$ avec l'axe optique de part et d'autre de la lentille. La taille de l'image vaut
$$A'B' = f' \tan \alpha \simeq f' \alpha = 100 \times 10^{-2} = 1 \text{ mm}$$

Le Soleil a sensiblement le même diamètre angulaire que la Lune, environ $9 \times 10^{-3}$ rad — c'est précisément cette coïncidence qui rend possibles les éclipses totales. Son image mesure donc elle aussi environ 1 mm. Une focale de 100 mm est donc très insuffisante pour photographier les cratères lunaires : il faut viser le mètre.

Distance de la Lune : son diamètre angulaire vaut $\alpha = 2R/D$, d'où
$$D = \frac{2R}{\alpha} = \frac{2 \times 1700}{10^{-2}} = 3{,}4 \times 10^5 \text{ km}$$

La lumière met alors $t = D/c = 3{,}4 \times 10^8/3 \times 10^8 \approx 1{,}1$ s pour nous parvenir depuis la Lune.

Pour le Soleil, le même raisonnement exige de connaître son rayon, $R \approx 7 \times 10^5$ km, ce qui donne $D \approx 1{,}4 \times 10^8$ km et un temps de trajet
$$t = \frac{1{,}4 \times 10^{11}}{3 \times 10^8} \approx 470 \text{ s} \approx 8 \text{ min}$$

L'image A' du point objet ne se forme pas dans le plan focal, mais un peu après : la tache observée dans le plan focal est la section du faisceau convergent à cet endroit. Deux triangles semblables suffisent à la calculer.

2. La formule de Descartes donne la position de l'image : $\dfrac{1}{\overline{\text{OA}'}} = \dfrac{1}{f'} - \dfrac{1}{D}$, soit $\overline{\text{OA}'} = \dfrac{f'D}{D-f'}$, située après le plan focal image.

Le faisceau émergent est un cône qui s'appuie sur toute la lentille (diamètre $L$) et converge en A'. Dans le plan focal, à la distance $f'$, le théorème de Thalès donne
$$\frac{\ell}{L} = \frac{\overline{\text{OA}'} - f'}{\overline{\text{OA}'}} = 1 - \frac{f'}{\overline{\text{OA}'}}$$

En remplaçant $\overline{\text{OA}'}$ par son expression, $\dfrac{f'}{\overline{\text{OA}'}} = \dfrac{D-f'}{D} = 1 - \dfrac{f'}{D}$, d'où le résultat remarquablement simple
$$\boxed{\ell = \frac{L f'}{D}}$$

On peut le retrouver directement : $\ell = \alpha f'$ avec $\alpha = L/D$ le diamètre angulaire de la lentille vu depuis l'objet.

3. La tache est indiscernable d'un point si $\ell < h$, soit
$$\frac{Lf'}{D} < h \qquad \text{c'est-à-dire} \qquad D > \frac{Lf'}{h}$$

Plus le détecteur est résolvant (plus $h$ est petit), plus la distance à partir de laquelle l'objet peut être considéré comme à l'infini est grande. La notion d'infini n'a donc rien d'absolu : elle dépend de l'instrument d'observation.

4. Pour un objet réellement à l'infini, les rayons incidents sont parallèles et convergent exactement en F' : la tache est réduite à un point. La condition $D > Lf'/h$ exprime que l'objet, sans être à l'infini, se comporte comme s'il y était du point de vue du détecteur : les deux situations sont expérimentalement indiscernables.

5. La tache de diffraction due à la pupille circulaire de diamètre $L$ a un diamètre angulaire de l'ordre de $\lambda/L$, soit une taille dans le plan focal
$$\ell_{\text{diff}} \sim \frac{\lambda f'}{L}$$

Avec $\lambda = 500$ nm, $f' = 100$ mm et $L = 2$ cm, cela donne quelques micromètres. Aucun détecteur associé à cette lentille ne peut donc résoudre mieux que cette taille : $h$ ne peut pas descendre en dessous de $\ell_{\text{diff}}$. En reportant dans la condition précédente, la distance à partir de laquelle l'objet est à l'infini reste bornée :
$$D > \frac{Lf'}{\ell_{\text{diff}}} \sim \frac{L^2}{\lambda}$$

soit quelques centaines de mètres pour les valeurs ci-dessus. C'est l'optique ondulatoire qui met une limite à un raisonnement d'optique géométrique.

6. Un objet est à l'infini lorsque la tache qu'il forme dans le plan focal image est trop petite pour être distinguée d'un point par le détecteur utilisé. Ce n'est pas une propriété de l'objet seul, mais du triplet objet-lentille-détecteur.

7. La formule de Descartes s'écrit $\dfrac{1}{\overline{\text{OA}'}} = \dfrac{1}{f'} + \dfrac{1}{\overline{\text{OA}}}$. Quand $\overline{\text{OA}} \to -\infty$, le terme $1/\overline{\text{OA}}$ tend vers zéro et $\overline{\text{OA}'} \to f'$ : l'image se forme dans le plan focal image. C'est la définition même du foyer image.

Trois rayons sont toujours constructibles depuis le point B : celui parallèle à l'axe (qui émerge par le foyer image), celui passant par le foyer objet (qui émerge parallèle à l'axe) et celui passant par le centre optique (non dévié). Deux suffisent. Pour un objet virtuel, ce sont les prolongements des rayons incidents qui se croisent en B : les rayons réels arrivent donc sur la lentille en se dirigeant vers B.

Pour le dernier cas, où un rayon quelconque est à prolonger, utiliser un foyer secondaire : tracer le rayon parallèle passant par le centre optique, il coupe le plan focal image au foyer secondaire par lequel passe le rayon émergent.

On note $f'$ la distance focale image et $\gamma_t = \overline{\text{OA}'}/\overline{\text{OA}}$ le grandissement transversal. La formule de Descartes $\dfrac{1}{\overline{\text{OA}'}} - \dfrac{1}{\overline{\text{OA}}} = \dfrac{1}{f'}$ permet de vérifier chaque construction.

Lentille convergente (colonne de gauche), de haut en bas :

1. Objet réel avant F : image réelle, renversée, réduite. $\gamma_t < 0$. C'est le cas de l'appareil photographique.

2. Objet réel entre F et O : image virtuelle, droite, agrandie. $\gamma_t > 1$. C'est le cas de la loupe.

3. Objet virtuel entre O et F' : image réelle, droite, réduite. $\gamma_t$ compris entre 0 et 1.

4. Objet virtuel au-delà de F' : image réelle, droite, réduite. $\gamma_t$ compris entre 0 et 1.

5. Rayon quelconque à prolonger : construction par foyer secondaire image.

Lentille divergente (colonne de droite), de haut en bas :

1. Objet réel loin de la lentille : image virtuelle, droite, réduite. $0 < \gamma_t < 1$.

2. Objet réel proche de la lentille : image virtuelle, droite, réduite. $\gamma_t$ plus proche de 1 que dans le cas précédent.

3. Objet virtuel entre O et F : image réelle, droite, agrandie. $\gamma_t > 1$.

4. Objet virtuel au-delà de F : image virtuelle, renversée, réduite. $\gamma_t < 0$.

5. Rayon quelconque à prolonger : construction par foyer secondaire image, situé cette fois dans le plan focal image virtuel, avant la lentille.

Deux règles se dégagent, à retenir : une image droite ($\gamma_t > 0$) correspond toujours à un objet et une image de natures différentes (l'un réel, l'autre virtuel), et une seule situation donne une image renversée à partir d'un objet réel, celle de l'objet réel avant le foyer objet d'une lentille convergente.

1. La formule de Descartes s'écrit directement $y - x = 1/f'$, soit
$$y = x + \frac{1}{f'}$$

L'ensemble des couples possibles est donc une droite de pente 1, d'ordonnée à l'origine $1/f'$ : positive pour une lentille convergente, négative pour une divergente. Toute la théorie des lentilles minces tient dans cette unique droite.

2. L'objet est réel si $\overline{\text{OA}} < 0$, donc si $x < 0$, et virtuel si $x > 0$. L'image est réelle si $y > 0$ et virtuelle si $y < 0$. Les quatre quadrants du plan correspondent donc aux quatre combinaisons, et les portions de la droite qui les traversent redonnent exactement les tableaux du cours.

3. Posons $\overline{\text{OA}} = -p$ avec $p > 0$ pour un objet réel, et $\overline{\text{OA}'} = p' > 0$ pour une image réelle. La formule de conjugaison devient
$$\frac{1}{p} + \frac{1}{p'} = \frac{1}{f'}$$

et la distance objet-image vaut $D = p + p'$. En multipliant les deux membres :
$$\frac{D}{f'} = (p + p')\left(\frac{1}{p} + \frac{1}{p'}\right) = 2 + \frac{p}{p'} + \frac{p'}{p} \geqslant 4$$

la dernière inégalité venant de $u + 1/u \geqslant 2$ pour tout $u > 0$, avec égalité si et seulement si $p = p'$. On a donc $D \geqslant 4f'$.

Conséquence pratique très utile en travaux pratiques : avec une lentille de focale 200 mm, il est impossible de former une image réelle si l'écran est à moins de 80 cm de l'objet, quelle que soit la position de la lentille. Et à la distance minimale, l'image est de même taille que l'objet.

L'image A' du point objet ne se forme pas dans le plan focal, mais un peu après : la tache observée dans le plan focal est la section du faisceau convergent à cet endroit. Deux triangles semblables suffisent à la calculer.

2. La formule de Descartes donne la position de l'image : $\dfrac{1}{\overline{\text{OA}'}} = \dfrac{1}{f'} - \dfrac{1}{D}$, soit $\overline{\text{OA}'} = \dfrac{f'D}{D-f'}$, située après le plan focal image.

Le faisceau émergent est un cône qui s'appuie sur toute la lentille (diamètre $L$) et converge en A'. Dans le plan focal, à la distance $f'$, le théorème de Thalès donne
$$\frac{\ell}{L} = \frac{\overline{\text{OA}'} - f'}{\overline{\text{OA}'}} = 1 - \frac{f'}{\overline{\text{OA}'}}$$

En remplaçant $\overline{\text{OA}'}$ par son expression, $\dfrac{f'}{\overline{\text{OA}'}} = \dfrac{D-f'}{D} = 1 - \dfrac{f'}{D}$, d'où le résultat remarquablement simple
$$\boxed{\ell = \frac{L f'}{D}}$$

On peut le retrouver directement : $\ell = \alpha f'$ avec $\alpha = L/D$ le diamètre angulaire de la lentille vu depuis l'objet.

3. La tache est indiscernable d'un point si $\ell < h$, soit
$$\frac{Lf'}{D} < h \qquad \text{c'est-à-dire} \qquad D > \frac{Lf'}{h}$$

Plus le détecteur est résolvant (plus $h$ est petit), plus la distance à partir de laquelle l'objet peut être considéré comme à l'infini est grande. La notion d'infini n'a donc rien d'absolu : elle dépend de l'instrument d'observation.

4. Pour un objet réellement à l'infini, les rayons incidents sont parallèles et convergent exactement en F' : la tache est réduite à un point. La condition $D > Lf'/h$ exprime que l'objet, sans être à l'infini, se comporte comme s'il y était du point de vue du détecteur : les deux situations sont expérimentalement indiscernables.

5. La tache de diffraction due à la pupille circulaire de diamètre $L$ a un diamètre angulaire de l'ordre de $\lambda/L$, soit une taille dans le plan focal
$$\ell_{\text{diff}} \sim \frac{\lambda f'}{L}$$

Avec $\lambda = 500$ nm, $f' = 100$ mm et $L = 2$ cm, cela donne quelques micromètres. Aucun détecteur associé à cette lentille ne peut donc résoudre mieux que cette taille : $h$ ne peut pas descendre en dessous de $\ell_{\text{diff}}$. En reportant dans la condition précédente, la distance à partir de laquelle l'objet est à l'infini reste bornée :
$$D > \frac{Lf'}{\ell_{\text{diff}}} \sim \frac{L^2}{\lambda}$$

soit quelques centaines de mètres pour les valeurs ci-dessus. C'est l'optique ondulatoire qui met une limite à un raisonnement d'optique géométrique.

6. Un objet est à l'infini lorsque la tache qu'il forme dans le plan focal image est trop petite pour être distinguée d'un point par le détecteur utilisé. Ce n'est pas une propriété de l'objet seul, mais du triplet objet-lentille-détecteur.

7. La formule de Descartes s'écrit $\dfrac{1}{\overline{\text{OA}'}} = \dfrac{1}{f'} + \dfrac{1}{\overline{\text{OA}}}$. Quand $\overline{\text{OA}} \to -\infty$, le terme $1/\overline{\text{OA}}$ tend vers zéro et $\overline{\text{OA}'} \to f'$ : l'image se forme dans le plan focal image. C'est la définition même du foyer image.

Œil au repos signifie image finale à l'infini, donc image intermédiaire dans le plan focal objet de l'oculaire. Les formules de Newton, écrites à partir des foyers, sont ici bien plus rapides que celles de Descartes.

1. L'œil normal n'accommode pas lorsqu'il vise à l'infini : l'image finale doit donc être rejetée à l'infini, ce qui impose que l'image intermédiaire $A_1B_1$ donnée par l'objectif se forme dans le plan focal objet de l'oculaire, c'est-à-dire en $\text{F}_2$.

On a donc $\overline{\text{F}_1'\text{A}_1} = \overline{\text{F}_1'\text{F}_2} = \Delta$. La formule de Newton appliquée à l'objectif, $\overline{\text{F}_1\text{A}} \cdot \overline{\text{F}_1'\text{A}_1} = -f_1'^2$, donne
$$\boxed{\overline{\text{F}_1\text{A}} = -\frac{f_1'^2}{\Delta}}$$

L'objet doit être placé juste avant le foyer objet de l'objectif, à une distance d'autant plus faible que l'intervalle optique $\Delta$ est grand. Pour un objectif de 4 mm de focale et un intervalle de 160 mm, cet écart vaut 0,1 mm : c'est la précision avec laquelle il faut régler la platine du microscope.

2. Le grandissement de l'objectif se lit sur la formule de Newton : $\gamma_1 = -\dfrac{\overline{\text{F}_1'\text{A}_1}}{f_1'} = -\dfrac{\Delta}{f_1'}$, donc $|A_1B_1| = \dfrac{\Delta}{f_1'}\,AB$.

L'image intermédiaire étant dans le plan focal objet de $L_2$, elle est vue à travers l'oculaire sous l'angle
$$\theta' = \frac{|A_1B_1|}{f_2'} = \frac{\Delta\, AB}{f_1' f_2'}$$

À l'œil nu au punctum proximum $d_m = 25$ cm, l'objet est vu sous l'angle $\theta = AB/d_m$. Le grossissement commercial vaut donc
$$\boxed{G_c = \frac{\theta'}{\theta} = \frac{\Delta\, d_m}{f_1' f_2'}}$$

Avec $\Delta = 160$ mm, $f_1' = 4$ mm et $f_2' = 25$ mm, on obtient $G_c = 160 \times 250/(4 \times 25) = 400$. On retrouve la décomposition affichée sur les microscopes : un objectif $\times 40$ associé à un oculaire $\times 10$.

1. La formule de Descartes s'écrit directement $y - x = 1/f'$, soit
$$y = x + \frac{1}{f'}$$

L'ensemble des couples possibles est donc une droite de pente 1, d'ordonnée à l'origine $1/f'$ : positive pour une lentille convergente, négative pour une divergente. Toute la théorie des lentilles minces tient dans cette unique droite.

2. L'objet est réel si $\overline{\text{OA}} < 0$, donc si $x < 0$, et virtuel si $x > 0$. L'image est réelle si $y > 0$ et virtuelle si $y < 0$. Les quatre quadrants du plan correspondent donc aux quatre combinaisons, et les portions de la droite qui les traversent redonnent exactement les tableaux du cours.

3. Posons $\overline{\text{OA}} = -p$ avec $p > 0$ pour un objet réel, et $\overline{\text{OA}'} = p' > 0$ pour une image réelle. La formule de conjugaison devient
$$\frac{1}{p} + \frac{1}{p'} = \frac{1}{f'}$$

et la distance objet-image vaut $D = p + p'$. En multipliant les deux membres :
$$\frac{D}{f'} = (p + p')\left(\frac{1}{p} + \frac{1}{p'}\right) = 2 + \frac{p}{p'} + \frac{p'}{p} \geqslant 4$$

la dernière inégalité venant de $u + 1/u \geqslant 2$ pour tout $u > 0$, avec égalité si et seulement si $p = p'$. On a donc $D \geqslant 4f'$.

Conséquence pratique très utile en travaux pratiques : avec une lentille de focale 200 mm, il est impossible de former une image réelle si l'écran est à moins de 80 cm de l'objet, quelle que soit la position de la lentille. Et à la distance minimale, l'image est de même taille que l'objet.

Corriger la myopie, c'est permettre à l'œil de voir net à l'infini sans accommoder : la lentille doit donc donner, d'un objet à l'infini, une image située au punctum remotum de l'œil. Attention à compter les distances depuis la lentille, et non depuis l'œil.

L'œil myope ne voit net qu'entre 10 cm et 30 cm : au-delà de son punctum remotum, l'image se forme en avant de la rétine. La lentille de correction doit rendre l'infini visible sans accommodation, c'est-à-dire donner d'un objet à l'infini une image au punctum remotum de l'œil.

Cette image se forme donc à 30 cm de l'œil, soit à 29 cm de la lentille, et en avant de celle-ci :
$$f' = \overline{\text{OA}'} = -29\ \text{cm} \qquad \text{d'où} \qquad V = \frac{1}{f'} = \frac{1}{-0{,}29} \approx -3{,}4\ \delta$$

La lentille est divergente, ce qui est la signature de la correction d'une myopie. En pratique l'opticien délivrerait un verre de $-3{,}5\ \delta$, les verres étant taillés par quarts de dioptrie.

Le punctum remotum de l'ensemble est alors rejeté à l'infini : c'est précisément l'objectif du dispositif, et c'est ce qui définit la vergence choisie.

Il est instructif de calculer aussi ce que devient le punctum proximum. L'objet dont l'image se forme au punctum proximum de l'œil, soit à 9 cm avant la lentille, vérifie
$$\frac{1}{\overline{\text{OA}}} = \frac{1}{\overline{\text{OA}'}} - \frac{1}{f'} = \frac{1}{-9} - \frac{1}{-29} \approx -0{,}077\ \text{cm}^{-1} \qquad \text{soit} \qquad \overline{\text{OA}} \approx -13\ \text{cm}$$

La correction éloigne donc le punctum proximum de 10 à 13 cm environ. Le myope corrigé voit l'infini, mais perd en vision rapprochée : c'est l'inconvénient bien connu des porteurs de lunettes, qui les retirent volontiers pour lire de très près.

Un œil emmétrope au repos forme sur sa rétine l'image d'un objet à l'infini : la rétine est donc dans le plan focal image du dioptre. Il suffit de calculer la distance focale image d'un dioptre sphérique.

La relation de conjugaison du dioptre sphérique de sommet S et de centre C s'écrit, avec la lumière allant du milieu d'indice $n_1$ vers le milieu d'indice $n_2$ :
$$\frac{n_2}{\overline{\text{SA}'}} - \frac{n_1}{\overline{\text{SA}}} = \frac{n_2 - n_1}{\overline{\text{SC}}}$$

L'œil emmétrope au repos vise à l'infini : l'objet est à l'infini et son image se forme sur la rétine, qui est donc dans le plan focal image. En faisant tendre $\overline{\text{SA}}$ vers l'infini :
$$\overline{\text{SA}'} = f' = \frac{n_2\,\overline{\text{SC}}}{n_2 - n_1}$$

Application numérique avec $n_1 = 1$, $n_2 = 1{,}33$ et $\overline{\text{SC}} = R = 6$ mm (le centre C est situé après S dans le sens de propagation) :
$$f' = \frac{1{,}33 \times 6}{1{,}33 - 1} = \frac{7{,}98}{0{,}33} \approx 24 \text{ mm}$$

La rétine se trouve donc à environ 24 mm de la cornée, ce qui correspond effectivement à la longueur d'un œil humain. Ce modèle très fruste, à un seul dioptre, rend déjà correctement compte de la dimension de l'organe.

Deux remarques utiles pour la suite. D'abord, c'est la cornée qui assure l'essentiel de la convergence de l'œil, le cristallin ne servant qu'à l'ajuster lors de l'accommodation. Ensuite, le saut d'indice à l'entrée de l'œil est bien plus faible sous l'eau qu'à l'air libre, ce qui explique la vision très floue du nageur les yeux ouverts et l'intérêt du masque, qui rétablit une interface air-cornée.

L'image A' du point objet ne se forme pas dans le plan focal, mais un peu après : la tache observée dans le plan focal est la section du faisceau convergent à cet endroit. Deux triangles semblables suffisent à la calculer.

2. La formule de Descartes donne la position de l'image : $\dfrac{1}{\overline{\text{OA}'}} = \dfrac{1}{f'} - \dfrac{1}{D}$, soit $\overline{\text{OA}'} = \dfrac{f'D}{D-f'}$, située après le plan focal image.

Le faisceau émergent est un cône qui s'appuie sur toute la lentille (diamètre $L$) et converge en A'. Dans le plan focal, à la distance $f'$, le théorème de Thalès donne
$$\frac{\ell}{L} = \frac{\overline{\text{OA}'} - f'}{\overline{\text{OA}'}} = 1 - \frac{f'}{\overline{\text{OA}'}}$$

En remplaçant $\overline{\text{OA}'}$ par son expression, $\dfrac{f'}{\overline{\text{OA}'}} = \dfrac{D-f'}{D} = 1 - \dfrac{f'}{D}$, d'où le résultat remarquablement simple
$$\boxed{\ell = \frac{L f'}{D}}$$

On peut le retrouver directement : $\ell = \alpha f'$ avec $\alpha = L/D$ le diamètre angulaire de la lentille vu depuis l'objet.

3. La tache est indiscernable d'un point si $\ell < h$, soit
$$\frac{Lf'}{D} < h \qquad \text{c'est-à-dire} \qquad D > \frac{Lf'}{h}$$

Plus le détecteur est résolvant (plus $h$ est petit), plus la distance à partir de laquelle l'objet peut être considéré comme à l'infini est grande. La notion d'infini n'a donc rien d'absolu : elle dépend de l'instrument d'observation.

4. Pour un objet réellement à l'infini, les rayons incidents sont parallèles et convergent exactement en F' : la tache est réduite à un point. La condition $D > Lf'/h$ exprime que l'objet, sans être à l'infini, se comporte comme s'il y était du point de vue du détecteur : les deux situations sont expérimentalement indiscernables.

5. La tache de diffraction due à la pupille circulaire de diamètre $L$ a un diamètre angulaire de l'ordre de $\lambda/L$, soit une taille dans le plan focal
$$\ell_{\text{diff}} \sim \frac{\lambda f'}{L}$$

Avec $\lambda = 500$ nm, $f' = 100$ mm et $L = 2$ cm, cela donne quelques micromètres. Aucun détecteur associé à cette lentille ne peut donc résoudre mieux que cette taille : $h$ ne peut pas descendre en dessous de $\ell_{\text{diff}}$. En reportant dans la condition précédente, la distance à partir de laquelle l'objet est à l'infini reste bornée :
$$D > \frac{Lf'}{\ell_{\text{diff}}} \sim \frac{L^2}{\lambda}$$

soit quelques centaines de mètres pour les valeurs ci-dessus. C'est l'optique ondulatoire qui met une limite à un raisonnement d'optique géométrique.

6. Un objet est à l'infini lorsque la tache qu'il forme dans le plan focal image est trop petite pour être distinguée d'un point par le détecteur utilisé. Ce n'est pas une propriété de l'objet seul, mais du triplet objet-lentille-détecteur.

7. La formule de Descartes s'écrit $\dfrac{1}{\overline{\text{OA}'}} = \dfrac{1}{f'} + \dfrac{1}{\overline{\text{OA}}}$. Quand $\overline{\text{OA}} \to -\infty$, le terme $1/\overline{\text{OA}}$ tend vers zéro et $\overline{\text{OA}'} \to f'$ : l'image se forme dans le plan focal image. C'est la définition même du foyer image.

Le rayon subit deux réfractions successives : air → verre sur la face d'entrée, puis verre → liquide sur la face supérieure. Attention, l'angle d'incidence sur la face supérieure est le complémentaire de l'angle de réfraction sur la face d'entrée.

On note $r$ l'angle de réfraction dans le verre sur la face d'entrée :
$$\sin i = n_v \sin r$$

Les deux faces étant perpendiculaires, l'angle d'incidence sur la face supérieure vaut $\theta = 90^\circ - r$.

1. Dans la goutte, la loi de Snell-Descartes s'écrit $n_v \sin \theta = n_\ell \sin r'$, soit
$$\sin r' = \frac{n_v}{n_\ell} \cos r$$

Quand $i$ augmente, $r$ augmente, donc $\cos r$ diminue et $r'$ diminue : le faisceau réfracté dans la goutte se rapproche de la normale à la face supérieure.

Pour $i$ suffisamment petit, $\cos r$ est grand et la relation impose $\sin r' > 1$ : la réfraction est impossible, il y a réflexion totale sur la face supérieure et la goutte n'est pas éclairée. La goutte ne s'illumine qu'à partir de $i = i_\text{lim}$, ce qui prouve bien que pour $i < i_\text{lim}$ aucune lumière n'y pénètre.

2. À la limite $i = i_\text{lim}$, le rayon réfracté est rasant, $r' = 90^\circ$ :
$$n_\ell = n_v \cos r_\text{lim}$$

Or $\sin r_\text{lim} = \dfrac{\sin i_\text{lim}}{n_v}$, donc $\cos r_\text{lim} = \dfrac{\sqrt{n_v^2 - \sin^2 i_\text{lim}}}{n_v}$, d'où
$$\boxed{n_\ell = \sqrt{n_v^2 - \sin^2 i_\text{lim}}}$$

3. L'angle d'incidence accessible varie de $0$ à $90^\circ$ :

— pour $i_\text{lim} = 0$ : $n_\ell = n_v = 1{,}50$ ;

— pour $i_\text{lim} = 90^\circ$ : $n_\ell = \sqrt{n_v^2 - 1} = \sqrt{1{,}25} \approx 1{,}12$.

L'appareil mesure donc des indices compris entre 1,12 et 1,50. La borne supérieure était prévisible : il faut $n_\ell < n_v$ pour qu'une réflexion totale soit possible à l'interface verre-liquide.

1. Un rayon faisant l'angle $\theta$ avec l'axe parcourt, pour une avancée $L$ le long de la fibre, une longueur géométrique $L/\cos\theta$. Sa vitesse dans le cœur vaut $c/n_c$, d'où
$$T = \frac{L n_c}{c \cos \theta}$$

2. La dispersion intermodale est l'écart de temps de propagation par unité de longueur entre le rayon le plus rapide et le plus lent. Le plus rapide est le rayon axial ($\theta = 0$). Le plus lent est celui d'inclinaison maximale, limitée par la condition de réflexion totale à l'interface cœur-gaine : l'angle d'incidence y vaut $90^\circ - \theta$, et la réflexion totale impose
$$\sin(90^\circ - \theta) \geqslant \frac{n_g}{n_c} \qquad \text{soit} \qquad \cos\theta \geqslant \frac{n_g}{n_c}$$

d'où $\cos\theta_{\max} = n_g/n_c$ et
$$\frac{\Delta T}{L} = \frac{n_c}{c}\left(\frac{1}{\cos\theta_{\max}} - 1\right) = \frac{n_c}{c}\left(\frac{n_c}{n_g} - 1\right) = \frac{n_c}{c}\left(\frac{n_c - n_g}{n_g}\right)$$

3. Si $n_c - n_g \ll n_c$, alors $n_g \simeq n_c$ et
$$\frac{\Delta T}{L} \simeq \frac{n_c}{c}\,\Delta$$

L'ouverture numérique vaut $\text{O.N.} = \sqrt{n_c^2 - n_g^2}$, soit $\text{O.N.}^2 = (n_c - n_g)(n_c + n_g) \simeq 2n_c(n_c-n_g)$, ce qui donne $\Delta \simeq \dfrac{\text{O.N.}^2}{2n_c^2}$ et
$$\frac{\Delta T}{L} \simeq \frac{\text{O.N.}^2}{2 n_c c}$$

4. Application numérique : $\dfrac{\Delta T}{L} = \dfrac{0{,}3^2}{2 \times 1{,}4 \times 3 \times 10^8} \approx 1{,}1 \times 10^{-10}\ \text{s/m}$, soit environ 110 ns par kilomètre. Sur 1000 km, l'étalement atteint
$$\Delta T \approx 1{,}1 \times 10^{-4}\ \text{s} \approx 100\ \text{µs}$$

Cet étalement limite drastiquement le débit : deux impulsions émises à moins de 100 µs d'intervalle se recouvrent à l'arrivée, ce qui plafonne le débit à quelques kilobits par seconde. On vérifie au passage que $\Delta \simeq 2{,}3\ %$, ce qui justifie bien l'approximation faite. C'est pour cette raison que les liaisons longue distance utilisent des fibres monomodes, où ce phénomène disparaît.

L'ouverture avant et l'ouverture arrière du tunnel ont les mêmes dimensions réelles, mais sont photographiées à deux distances différentes : le rapport de leurs tailles sur le capteur donne directement le rapport de ces distances. Le panneau de limitation de hauteur fournit l'échelle absolue qui manque.

Modèle. L'appareil est une lentille de focale $f' = 35$ mm et un capteur de 24 mm × 36 mm. La distance au pont étant très grande devant $f'$, le capteur est dans le plan focal image et un objet de taille $T$ situé à la distance $D$ a pour image
$$t = \frac{f' T}{D}$$

Hypothèse supplémentaire. L'ouverture arrière du tunnel est identique à l'ouverture avant et appartient à un plan parallèle à celle-ci. Les deux sont donc deux objets de même taille $T$, photographiés aux distances $D_1$ et $D_2 = D_1 + p$, où $p$ est la profondeur cherchée. Le rapport de leurs images élimine $T$ :
$$\frac{t_1}{t_2} = \frac{D_2}{D_1} \qquad \text{d'où} \qquad p = D_1\left(\frac{t_1}{t_2} - 1\right)$$

Mesures sur la photographie. En rapportant les mesures faites sur l'image à la largeur du capteur (36 mm pour toute la largeur du cliché) :

— largeur de l'ouverture avant : environ 25 mm sur le capteur ;

— largeur de l'ouverture arrière : environ 16 mm ;

— hauteur de l'ouverture avant : environ 5,7 mm.

Le rapport vaut donc $t_1/t_2 \approx 1{,}6$.

Échelle absolue. Le panneau visible sur le pont indique une hauteur limite de 4,3 m : c'est, à la marge de sécurité près, la hauteur $H$ de l'ouverture. Elle donne la distance à l'entrée du tunnel :
$$D_1 = \frac{f' H}{t_1} = \frac{35 \times 4{,}3}{5{,}7} \approx 26\ \text{m}$$

Résultat.
$$p = D_1\left(\frac{t_1}{t_2} - 1\right) \approx 26 \times 0{,}6 \approx 15\ \text{m}$$

Validation. La profondeur du pont est aussi la largeur de la chaussée qu'il supporte. L'énoncé indique une route à 2 × 2 voies avec terre-plein central et voie d'accès, soit environ $4 \times 3{,}5 + 3 + 3{,}5 \approx 20$ m. Les deux estimations sont du même ordre de grandeur, ce qui valide la démarche.

L'écart d'environ 25 % est cohérent avec la précision des mesures : les bords du tunnel sont dans l'ombre et se repèrent mal, et le panneau indique la hauteur maximale autorisée, inférieure de quelques dizaines de centimètres à la hauteur réelle. On notera enfin que la focale n'apparaît pas dans le rapport $t_1/t_2$ : elle n'intervient que pour fixer l'échelle absolue.

Il n'est pas nécessaire de connaître la structure de l'œil : il suffit de savoir où doit se trouver l'objet que l'œil regarde. La formule de Newton, écrite depuis le foyer objet de l'oculaire, donne directement FA.

1. Un œil qui n'accommode pas vise à l'infini : l'objet qu'il regarde effectivement, c'est-à-dire l'image donnée par l'oculaire, doit être à l'infini. Or l'image par une lentille convergente est à l'infini si et seulement si l'objet est dans son plan focal objet. L'objet est donc en F.

La structure interne de l'œil n'intervient pas : seule compte la position de l'objet que l'œil est capable de voir net, ce qui est le sens de l'indication de l'énoncé.

2. Lorsque l'œil accommode au punctum proximum, l'image donnée par l'oculaire doit se former à la distance $d_m = 25$ cm en avant de l'œil, donc pratiquement en avant de l'oculaire puisque les deux sont accolés. L'objet A est alors légèrement plus proche de la lentille que F.

3. La formule de Newton $\overline{\text{FA}} \cdot \overline{\text{F}'\text{A}'} = -f'^2$ avec $\overline{\text{OA}'} = -d_m$, donc $\overline{\text{F}'\text{A}'} = -d_m - f'$, donne
$$\boxed{\overline{\text{FA}} = \frac{f'^2}{d_m + f'} \simeq \frac{f'^2}{d_m}}$$

Application numérique avec $f' = 1$ cm et $d_m = 25$ cm :
$$\overline{\text{FA}} = \frac{1}{26} \approx 0{,}04\ \text{cm} = 0{,}4\ \text{mm}$$

L'œil nu voit net de 25 cm à l'infini ; à travers l'oculaire, la plage des positions d'objet vues nettes se réduit à quatre dixièmes de millimètre. Le viseur pointe donc un plan objet quasiment unique, ce qui en fait un instrument de mesure de position : c'est exactement l'usage qu'on en fait sur un banc d'optique pour repérer un objet ou une image.

Le résultat varie comme $f'^2$ : diviser la focale de l'oculaire par deux réduit la profondeur de champ d'un facteur quatre. Un viseur précis est donc un viseur de très courte focale.