Travaux Pratiques

:::objectif Mesurer les longueurs d'onde de plusieurs raies d'une lampe à vapeur de mercure à l'aide d'un goniomètre à réseau, et comparer chaque résultat à sa valeur de référence. Le réglage de la lunette autocollimatrice et du collimateur, la lecture d'un vernier à la minute d'arc et l'évaluation des incertitudes par simulation Monte-Carlo font partie du TP au même titre que la mesure elle-même. ::: :::materiel - Spectrogoniomètre, composé d'un goniomètre, d'une lunette autocollimatrice, d'un collimateur, d'une fente micrograduée et d'une lunette micrométrique. - Lampe à décharge au mercure. - Réseau de 600 traits/mm. ::: :::remarque[Utilisation du matériel] - Lavez-vous les mains au gel hydro-alcoolique avant de manipuler le matériel. - Ne touchez pas les faces du réseau : déplacez-le en le tenant par son support. - Ne regardez jamais directement la lumière de la lampe au mercure. - Remettez le matériel en l'état avant de quitter la salle, sauf la lampe, que le premier groupe laisse allumée pour le second. :::

# Réglage de la lunette autocollimatrice et du collimateur {centre 84%} *En plus des éléments d'une lunette, la lunette autocollimatrice possède une lame semi-réfléchissante orientable : elle permet d'éclairer le réticule avec une petite lampe, sans empêcher le passage de la lumière. Cette lame ne sert qu'aux réglages ; elle est repliée pour les mesures.* :::experience[Réaliser · Régler l'oculaire] Enfoncez l'oculaire, puis retirez-le progressivement jusqu'à voir le réticule — la croix — net. C'est le seul réglage qui dépend de l'œil de l'expérimentateur : chacun peut le reprendre à sa vue si les deux membres du binôme n'ont pas la même vision. Les réglages suivants, en revanche, ne doivent plus être modifiés. ::: {centre 28%} *Le réticule vu net à travers l'oculaire.* :::experience[Réaliser · Régler l'objectif sur l'infini par autocollimation] Placez la lame semi-réfléchissante comme sur le schéma et allumez la lampe de la lunette : en plaçant votre œil du côté de l'objectif, vous devez voir de la lumière. Placez un miroir contre la monture, du côté de l'objectif, pour qu'il renvoie la lumière de la lampe dans la lunette. Translatez l'objectif en maintenant le miroir, jusqu'à obtenir une image nette du réticule à travers l'objectif : **deux réticules** doivent alors apparaître nets en même temps. Sinon, vérifiez la position de la lame et que la lampe de la lunette est bien allumée. ::: {centre 96%} *Ce que l'on voit dans l'oculaire en translatant l'objectif. Sur la quatrième vue, encadrée, le réticule et son image renvoyée par le miroir sont nets tous les deux : le réglage est terminé.* :::experience[Réaliser · Régler le collimateur] Éteignez la lampe de la lunette et basculez la lame semi-réfléchissante. Placez face à face la lunette réglée et le collimateur, en retirant le réseau qui pourrait se trouver entre eux : soulevez **délicatement** le plateau qui le porte. Éclairez la fente du collimateur avec la lampe spectrale ou la lampe de bureau. Cherchez à travers l'oculaire l'image de la fente ; réglez sa hauteur avec la molette qui relie le support de la lunette ou du collimateur au plateau. Rendez-la ensuite nette **en ne touchant qu'à la molette du collimateur** : la lunette ne doit plus être déréglée. Réglez enfin la largeur de la fente pour qu'elle ne dépasse pas deux fois l'épaisseur du trait du réticule. ::: {centre 32%} *La fente réglable du collimateur.* {centre 90%} *La fente est dans le plan focal du collimateur : le faisceau en sort parallèle, et la lunette réglée sur l'infini en donne une image nette dans le plan du réticule.*

# Mesure de longueurs d'onde avec un réseau Le spectre d'une lampe à décharge est constitué de plusieurs raies plus ou moins intenses. La figure ci-dessous représente les raies visibles de la lampe au mercure, avec leurs longueurs d'onde en nanomètres ; les raies les plus intenses sont tracées en gras. {centre 94%} *Raies visibles du mercure. Les plus intenses — violette, indigo, verte et doublet jaune — sont les plus faciles à repérer.* :::loi[Formule des réseaux] Un faisceau de longueur d'onde $\lambda$ arrivant sous l'angle d'incidence orienté $\theta_i$ sur un réseau en transmission de pas $a$ — l'espacement entre deux fentes — est diffracté dans plusieurs directions. Certaines sont privilégiées, car le faisceau y est beaucoup plus intense : l'angle orienté $\theta_p$ qu'elles font avec la normale au réseau vérifie $$\sin\theta_p = \sin\theta_i + p\,\frac{\lambda}{a} \qquad (1)$$ où l'entier relatif $p$ est l'**ordre** de diffraction. ::: :::remarque[Minute d'arc] On écrit les fractions de degré en minutes d'arc, de symbole $'$, avec $1^\circ = 60'$. Ainsi, un angle de $37{,}8^\circ$ s'écrit aussi $37^\circ48'$. ::: :::definition[Lecture d'un vernier] Le vernier d'un goniomètre permet de mesurer des angles à la minute d'arc. Il associe deux platines graduées : l'une, fixe, donne l'angle en degrés et est graduée tous les $0{,}5^\circ$, soit $30'$ ; l'autre, mobile, est graduée en minutes d'arc, de $0'$ à $30'$ par pas de $1'$. 1. On repère le zéro de la platine mobile sur la platine fixe, et on retient la graduation fixe située **juste avant** lui. 2. On cherche la graduation de la platine mobile qui **coïncide** avec une graduation fixe : son numéro donne le nombre de minutes à ajouter. ::: {centre 72%} *Ici, le zéro du vernier est entre les graduations $82^\circ30'$ et $83^\circ$ de la platine fixe : on retient $82^\circ30'$. La graduation 25 du vernier coïncide avec une graduation fixe, d'où $\theta = 82^\circ30' + 25' = 82^\circ55'$.* :::remarque[Incertitude de lecture] L'incertitude-type sur une lecture n'est pas ici de 0,3 graduation, comme pour une règle, mais plutôt du double : on n'arrive pas à affirmer si c'est la graduation 25, la 26 ou même la 24 qui coïncide. On prendra $u(\theta) = 0{,}6'$ pour une lecture. ::: Entraînez-vous avec l'animation ci-dessous, en mode « S'entraîner », jusqu'à réussir plusieurs lectures d'affilée.

## Mesure des angles de diffraction :::experience[Réaliser · Observer les ordres de diffraction] Placez la lampe au mercure devant la fente du collimateur si ce n'est pas déjà fait. Posez le réseau au centre du goniomètre, perpendiculairement au faisceau qui sort du collimateur : pour ce réglage, regardez si le réseau décale le faisceau observé à la lunette. Tournez ensuite la lunette pour observer les raies de part et d'autre du réseau. ::: Avant de mesurer, explorez l'animation ci-dessous. Repérez les ordres de diffraction de la raie verte et leur disposition symétrique, puis cochez « Réglage imparfait » : que devient cette symétrie ? *Pourquoi ne peut-on pas en déduire l'angle d'incidence avec une seule lecture ?*

{centre 80%} *Vue de dessus d'un faisceau diffracté par un réseau, en pointillés épais au centre, posé sur un goniomètre. La graduation 0° est placée de manière arbitraire, comme dans l'expérience. Les angles $\theta_p$, repérés depuis la normale au réseau, sont à déterminer à partir des lectures $\varphi_p$ et du modèle (1).* Même en apportant le plus grand soin à régler le réseau perpendiculairement au faisceau incident, il subsiste un léger angle d'incidence $\theta_i$, qu'il faut prendre en compte. Une lecture unique ne permet pas de l'estimer : le goniomètre ne mesure pas des angles absolus, mais des angles **relatifs**. Par définition des lectures $\varphi_p$, pour $p \in \{-2, -1, 1, 2\}$ : $$\underbrace{\theta_p}_{\text{inconnu}} - \underbrace{\theta_0}_{\text{inconnu}} = \underbrace{\varphi_p}_{\text{mesuré}} - \underbrace{\varphi_0}_{\text{mesuré}} \qquad (2)$$ Le modèle (1) donne $\theta_0 = \theta_i$ : le faisceau d'ordre 0 n'est pas dévié. Il permet aussi d'estimer $\theta_0$ à partir de trois lectures, $\varphi_0$ et celles de deux ordres opposés, $\varphi_p$ et $\varphi_{-p}$ : $$\tan\theta_0 = \frac{\sin(\varphi_p - \varphi_0) + \sin(\varphi_{-p} - \varphi_0)}{2 - \cos(\varphi_p - \varphi_0) - \cos(\varphi_{-p} - \varphi_0)} \qquad (3)$$ Une fois $\theta_0$ déterminé, les angles $\theta_p$ se déduisent des lectures $\varphi_p$ par la relation (2). :::experience[Réaliser · Relever les angles] Relevez d'abord $\varphi_0$, la lecture de l'ordre 0. Choisissez ensuite 4 ou 5 raies du spectre, et relevez pour chacune les angles $\varphi_1$, $\varphi_{-1}$, $\varphi_2$ et $\varphi_{-2}$. Il est plus rapide de mesurer un même ordre pour toutes les raies, puis de passer à l'ordre suivant, que de mesurer tous les ordres d'une raie avant de passer à la suivante. ::: Reportez vos lectures dans la cellule ci-dessous, en degrés et minutes d'arc : écrivez `dm(82, 55)` pour $82^\circ55'$. Toutes les lectures se font sur la même graduation, ce qui permet de les soustraire ; la fonction `ecart` tient compte du passage éventuel par $360^\circ$.

## Angle d'incidence :::propriete[Simuler les incertitudes de lecture] Une lecture au vernier est connue à une graduation près : sans préférence dans l'intervalle $[\varphi - 1', \varphi + 1']$, on la modélise par une loi uniforme, d'incertitude-type $2'/\sqrt{12} \simeq 0{,}6'$, conforme à celle du vernier. Plutôt que de propager ces incertitudes à travers la formule (3), on **simule** : on tire au hasard un grand nombre de jeux de lectures, on calcule $\theta_0$ pour chacun, et on lit la moyenne et l'écart-type de la distribution obtenue. C'est la méthode de **Monte-Carlo**. ::: La cellule ci-dessous applique cette méthode aux ordres $\pm 2$ d'une raie intense, choisie avec `k`. Exécutez-la, puis changez `k` : vous devez retrouver la même valeur de $\theta_0$ avec les autres raies, aux incertitudes près. Sinon, vos incertitudes sont sous-estimées, ou une mesure est à reprendre. *Terminez en revenant à la raie la plus intense, que vous utiliserez pour la suite.*

## Longueurs d'onde Connaissant $\theta_0$, la relation (2) donne les angles $\theta_p = \theta_0 + (\varphi_p - \varphi_0)$ ; la formule (1) permet alors de remonter à la longueur d'onde de chaque raie. :::convention[Écart normalisé] Pour comparer quantitativement un résultat $a_1 \pm u(a_1)$ à une valeur de référence $a_2 \pm u(a_2)$, on calcule leur **écart normalisé** : $$z = \frac{\left|a_1 - a_2\right|}{\sqrt{u^2(a_1) + u^2(a_2)}}$$ - $z < 2$ : les résultats sont *a priori* compatibles, l'expérience ne permet pas de les distinguer ; - $z > 2$ : les résultats sont incompatibles, il faut chercher une source d'erreur. ::: Complétez la ligne qui calcule $\lambda$ dans la cellule ci-dessous, puis exécutez-la pour $p = 2$, puis pour $p = 1$. Elle reprend les tirages de $\varphi_0$ et de $\theta_0$ de la cellule précédente, et compare chaque mesure à sa valeur de référence, supposée exacte.

:::remarque[Pour aller plus loin avec l'animation] - **Pouvoir de résolution.** Choisissez la lampe au sodium, dont la raie jaune est en réalité un doublet, à 589,0 nm et 589,6 nm. À partir de quel ordre le réseau de 600 traits/mm sépare-t-il ces deux raies ? Que devient la réponse avec un réseau de 1200 traits/mm ? - **Déviation minimale.** Faites tourner le réseau en suivant une raie avec la lunette : il existe une incidence pour laquelle la déviation de la raie est minimale. Comment la mesurer, et que permet-elle de déterminer ? :::

:::objectif Mesurer la distance focale d'une lentille divergente à l'aide d'un viseur, et **construire vous-même l'incertitude de votre mesure** à partir de la profondeur de champ que vous aurez observée — et non à partir d'une valeur donnée par l'énoncé. Le viseur permet de repérer la position d'un plan qu'aucun écran ne peut recevoir : celui d'une **image virtuelle**. C'est ce qui rend la mesure possible ici, une lentille divergente ne donnant jamais d'image réelle d'un objet réel. ::: :::materiel[] - Banc d'optique de 2 m. - Source lumineuse et objet (disque perforé d'une lettre). - Lentille divergente $f' = -100$ mm, sur support. - Viseur à frontale fixe. ::: :::remarque[Utilisation du matériel] - Manipulez une lentille par la tranche pour éviter de la salir. Pour ne pas la rayer, replacez-la dans son sachet et non sur la paillasse. - Remettez le matériel en l'état avant de quitter la salle. :::

# Prise en main du viseur :::definition[Viseur à frontale fixe] Un viseur est une lunette composée d'un **objectif** (lentille convergente de courte focale) et d'un **oculaire**, à travers lequel l'œil observe. Un **réticule** — une croisée de fils — est placé entre les deux. Le réglage se fait en deux temps, et **dans cet ordre** : 1. l'**oculaire** se règle une fois pour toutes, pour que *vous* voyiez le réticule net sans fatigue ; 2. l'**objectif** fixe alors la **distance frontale** $d_f$ : la distance, mesurée depuis l'avant du viseur, du plan qui sera vu net. Une fois ces deux réglages faits, **on n'y touche plus**. Le viseur devient un instrument de pointage : pour viser un plan, on déplace le viseur entier le long du banc jusqu'à ce que ce plan soit net. La position lue sur la graduation du banc repère alors ce plan, **à la constante $d_f$ près** — constante qui disparaîtra dès qu'on fera des différences de positions. ::: :::experience[Étude du viseur] Regardez à travers le viseur et manipulez séparément les deux molettes ou tubes. - Quel est l'effet de la molette de l'oculaire ? Celui de la molette de l'objectif ? - Visez un objet posé sur la paillasse, puis déplacez lentement le viseur : sur quelle longueur l'objet reste-t-il net ? Comparez cette **profondeur de champ** à la plage d'accommodation de votre œil nu, qui s'étend de 25 cm à l'infini. - Peut-on viser une image réelle avec un viseur ? Une image virtuelle ? En déduire l'intérêt du viseur par rapport à un écran. :::

:::experience[Simulation — à faire avant de manipuler] Ouvrez la simulation **« Viseur et profondeur de champ »**. Vous y retrouvez le banc, l'objet, la lentille divergente et le viseur. Déplacez le viseur et observez la fenêtre du bas, qui montre ce que voit l'œil. Trois plans distincts peuvent être vus nets, **jamais en même temps** : - l'**objet** — mais seulement si vous retirez la lentille, car sinon la lumière qui vous parvient a été déviée par celle-ci ; - la **lentille elle-même**, repérée par les poussières et les rayures déposées sur son verre ; - l'**image virtuelle** de l'objet à travers la lentille, plus petite et moins lumineuse. Repérez l'ordre dans lequel ces trois plans apparaissent nets quand vous éloignez le viseur de l'objet. Cet ordre vous dit déjà où se trouve l'image virtuelle par rapport à la lentille. :::

# Mesure de la distance focale :::convention[Distances algébriques et positions sur le banc] L'axe optique est orienté dans le sens de propagation de la lumière, de l'objet vers le viseur. Toutes les positions sont lues **sur la même graduation du banc**, ce qui permet de les soustraire directement : $$\overline{\rm OA} = p_{\rm objet} - p_{\rm lentille} \qquad \overline{\rm OA'} = p_{\rm image} - p_{\rm lentille}$$ où $p$ désigne la position du **viseur** lorsqu'il voit net le plan considéré. La distance frontale $d_f$, identique pour les trois visées, s'élimine dans ces différences. Avec un objet réel et une lentille divergente, on attend $\overline{\rm OA} < 0$ **et** $\overline{\rm OA'} < 0$ : l'image est virtuelle. ::: La relation de conjugaison de Descartes donne alors $$\frac{1}{\overline{\rm OA'}} - \frac{1}{\overline{\rm OA}} = \frac{1}{f'} \qquad\text{soit}\qquad f' = \frac{1}{\dfrac{1}{\overline{\rm OA'}} - \dfrac{1}{\overline{\rm OA}}}\,.$$ :::experience[Réaliser · Repérer les bornes de netteté] Pour **chaque** visée, vous n'allez pas noter une position, mais **deux bornes**. 1. Approchez le viseur jusqu'à ce que le plan visé devienne net ; continuez d'avancer jusqu'à ce qu'il cesse de l'être. Reculez très légèrement : vous tenez la **borne haute**. 2. Repartez de l'autre côté, en reculant franchement puis en revenant : vous tenez la **borne basse**. 3. Notez les deux valeurs. L'écart entre elles est la profondeur de champ du viseur pour ce plan. Faites-le pour les trois visées — objet lentille retirée, lentille, image virtuelle — puis **déplacez la lentille** et recommencez. Prenez au moins **six positions de lentille** réparties sur le banc, en faisant varier la distance objet-lentille de 20 cm à 50 cm environ. ::: :::remarque[Pourquoi des bornes plutôt qu'une valeur] Si vous notiez une seule position par visée, vous devriez ensuite *supposer* une incertitude — typiquement la demi-graduation du banc, soit 0,5 mm. Ce serait très optimiste : ce n'est pas la règle du banc qui limite la mesure, c'est **votre œil et la profondeur de champ du viseur**, qui s'étendent sur plusieurs millimètres. En relevant les deux bornes, vous **mesurez** cette limitation au lieu de la deviner. Le modèle adopté est le suivant : si vous n'aviez fait qu'une seule visée, vous vous seriez arrêté **quelque part** dans cette plage, sans raison de privilégier un endroit. Toutes les positions de la plage sont donc équiprobables : c'est une **loi uniforme**, simulée en Python par `np.random.uniform(borne_basse, borne_haute, N)`. :::

:::remarque[Notations utilisées] - `t_` : la variable est un tableau `np.array([...])`, une valeur par position de lentille ; - `_min` / `_max` : les deux bornes de netteté relevées au viseur ; - `u` : incertitude-type (***u**ncertainty*) ; - `_MC` : Monte-Carlo, c'est-à-dire des observations **simulées**. ::: Reportez ci-dessous les positions du viseur, en millimètres, lues sur la graduation du banc. Une valeur par position de lentille, **dans le même ordre** pour les six tableaux.

Regardez la dernière colonne : les trois visées n'ont pas la même profondeur de champ. Laquelle est la plus délicate, et pourquoi ? Pensez à ce que vous voyez réellement dans l'oculaire dans chacun des trois cas — contraste, finesse des détails, luminosité. Pour la visée de la lentille, une question toute simple mérite d'être posée : les poussières et les rayures se déposent sur **les deux faces** du verre. Ces deux faces sont-elles dans le même plan ?

## Simulation du processus de mesure :::propriete[Du relevé de bornes à l'incertitude-type] Une grandeur dont on sait seulement qu'elle est comprise entre $a$ et $b$, sans préférence à l'intérieur de cet intervalle, suit une **loi uniforme**. Son incertitude-type vaut $$u = \frac{b-a}{\sqrt{12}}\,.$$ Plutôt que d'appliquer cette formule puis de propager les incertitudes à travers la relation de conjugaison — un calcul lourd et hors programme ici —, on **simule** : on tire au hasard un grand nombre de fois les trois positions dans leurs plages respectives, on calcule $f'$ à chaque tirage, et on lit la moyenne et l'écart-type de la distribution obtenue. C'est la méthode dite de **Monte-Carlo**. ::: La cellule ci-dessous simule, pour chaque position de lentille, $10^5$ mesures que vous auriez pu faire.

Le graphique ci-dessous reprend la présentation admise par la communauté des physiciens : chaque point est la valeur moyenne issue d'une position de lentille, la barre verticale s'étend d'un écart-type de part et d'autre. La bande rouge est la moyenne de l'ensemble, plus ou moins son incertitude-type.

:::convention[Écart normalisé et valeur pivot « 2 »] Pour comparer quantitativement deux résultats $a_1 \pm u(a_1)$ et $a_2 \pm u(a_2)$, on calcule leur **écart normalisé** : $$z = \frac{\left|a_1 - a_2\right|}{\sqrt{u^2(a_1) + u^2(a_2)}}$$ - $z < 2$ : les résultats sont *a priori* compatibles, l'expérience ne permet pas de les distinguer ; - $z > 2$ : les résultats sont incompatibles, il faut chercher une source d'erreur. ::: Comparez maintenant votre mesure à la valeur du constructeur.

:::remarque[Quatre causes possibles d'incompatibilité] Une valeur incompatible s'explique par quatre raisons, qui ne s'excluent pas. **Une mauvaise manipulation :** visée faite sur le mauvais plan, lentille ou objet déplacés en cours de série, bornes relevées trop vite. **Un modèle utilisé hors de son domaine :** le calcul suppose une lentille mince dans les conditions de Gauss. Ce n'est plus le cas si l'objet est trop proche de la lentille, ou si la visée se fait loin de l'axe optique. **Des incertitudes mal estimées :** vos plages de netteté sont trop étroites — vous avez jugé « net » ce qui ne l'était plus — ou au contraire trop larges. **Une valeur de référence imprécise :** le constructeur annonce une valeur *nominale*, pas une mesure. Un singulet de catalogue est spécifié à ±1 ou ±2 % près ; une lentille montée de banc de TP, elle, n'a en général aucune tolérance spécifiée, et l'écart peut atteindre plusieurs pour cent. Cette valeur a donc elle aussi son incertitude $u(f'_c)$, que le calcul ci-dessus a passée sous silence en écrivant $z = |\overline{f'} - f'_c| / u(\overline{f'})$. :::

## Quelle visée limite la précision ? Les trois visées ne contribuent pas également à l'incertitude finale. La cellule ci-dessous refait la simulation en **figeant** tour à tour deux des trois visées sur leur valeur centrale : l'incertitude qui subsiste est alors celle apportée par la seule visée laissée libre.

Quelle visée domine ? Deux effets se combinent, et il faut les distinguer. - La **largeur de la plage de netteté** que vous avez relevée n'est pas la même pour les trois visées. - Le **poids** de chaque position dans le calcul n'est pas le même non plus. Remarquez que $p_{\rm lentille}$ intervient dans les **deux** distances $\overline{\rm OA}$ et $\overline{\rm OA'}$, alors que $p_{\rm objet}$ et $p_{\rm image}$ n'interviennent chacune que dans une seule. Par ailleurs $\overline{\rm OA'}$ vaut moins de 10 cm quand $\overline{\rm OA}$ en vaut 20 à 50 : une même erreur de 1 mm n'a donc pas du tout le même effet relatif sur les deux termes de la relation de conjugaison.

:::remarque[Pour aller plus loin] La profondeur de champ du viseur n'est pas une fatalité : elle dépend du diamètre du faisceau qui entre dans l'objectif. En diaphragmant — en réduisant l'ouverture —, on l'augmente, ce qui rend la visée *moins* précise mais l'image plus contrastée ; en ouvrant, on la réduit et la visée gagne en précision, au prix de la luminosité. C'est exactement le compromis d'un appareil photographique. :::

:::objectif Comprendre et utiliser les propriétés des lentilles convergentes et divergentes pour former une image. Vous chercherez à estimer la distance focale d'une lentille, sa propriété essentielle, par différentes méthodes. ::: :::materiel[Matériel] - Banc d'optique de 2 m. - Source lumineuse. - Supports avec lentilles minces et objets (plaques perforées). ::: :::remarque[Utilisation du matériel] - Pour les lentilles sans support : manipulez une lentille par la tranche pour éviter de la salir. Pour ne pas la rayer, replacez-la dans son sachet. - Remettez le matériel en l'état avant de quitter la salle pour le premier groupe. Le dernier groupe range le matériel dans les caisses prévues. :::

# Forme des lentilles :::experience[Distinguer les lentilles par leurs formes] Repérez les lentilles convergentes — celles qui ont une distance focale algébrique positive — et divergentes — distance focale algébrique négative. Repérez la différence de courbure entre les deux familles. :::

# Distance focale d'une lentille convergente ## Méthode 1 — l'image du plafonnier :::experience[Faire l'image du plafonnier] Placez une lentille convergente de 125 mm à plat à proximité de la paillasse, puis déplacez-la vers le haut : progressivement, l'image du plafonnier se forme sur la paillasse. Mesurez à la règle la distance entre la lentille et la table, puis recommencez pour les autres lentilles convergentes. Faites de même avec une lentille divergente : une ombre se forme, contrairement au cas précédent. Arrivez-vous à former une image du plafonnier ? Arrivez-vous à voir une image en regardant à travers une lentille divergente ? ::: Reportez vos mesures dans la cellule ci-dessous, puis exécutez-la.

## Méthode 2 — conjugaison objet-image :::remarque[Amont et aval] Les termes amont/aval ou avant/après sont fixés par le sens de l'axe optique, lui-même très souvent fixé par le sens de propagation de la lumière. L'axe optique est l'axe de symétrie de la lentille. ::: :::definition[Points et notations] Chaque partie d'une lentille, d'un objet ou d'une image peut être représentée par des points dans l'espace. Le centre d'une lentille, appelé centre optique, est noté $\rm O$ — ou $\rm O$ affecté d'un indice correspondant au numéro de la lentille s'il y en a plusieurs sur le montage ($\rm O_1$ , $\rm O_2$, ...). L'axe optique croise l'objet en un point souvent noté $\rm A$. Il croise l'image en un point souvent noté $\rm A'$. $\rm A'$ est l'image du point $\rm A$ à travers la lentille, on dit qu'ils sont conjugués. ::: :::convention[Distances algébriques] En optique, les distances dites algébriques sont utilisées. Elles correspondent aux distances réelles multipliées par un facteur 1 ou −1 selon le sens de la mesure : 1 si la mesure se fait dans le sens de l'axe optique, −1 sinon. Pour distinguer une distance algébrique d'une distance ordinaire, une barre est placée au-dessus du symbole, un peu comme un vecteur sans la flèche (ressemble à un vecteur à une dimension). D'après le schéma ci-dessous, $\overline{\text{OA}}$ est la distance entre O et A multipliée par −1 : pour aller de O à A, on va dans le sens inverse de la flèche représentée sur l'axe optique. $\overline{\text{AO}}$ est cette même distance multipliée par 1. ::: {centre 100%} :::experience[Réaliser une image nette d'un objet avec une lentille] Placer une lentille convergente de 250 mm au milieu du banc d'optique. Placer une lampe sur un des bords du banc et un objet proche de cette lampe : choisir le bord le plus judicieux pour mesurer une distance facilement entre l'objet et la lentille, notée $D.$ Faire une image nette de l'objet sur un écran situé à l'autre bord du banc en déplaçant la lentille. Choisir une graduation pratique pour l'écran, pour que la mesure de la distance entre la lentille et l'écran notée $d$ soit simple. Chercher une deuxième position, à distance écran-objet fixée, donnant elle aussi une image nette, puis comparer la taille des deux images. ::: :::experience[Faire une mesure permettant de remonter à la distance focale image de la lentille] Refaire l'expérience dans le but de mesurer D et d pour les deux positions nettes, **en tenant compte de la difficulté à rendre l'image nette**. Pour estimer l'incertitude liée à l'observateur, procéder comme suit : Première borne - partez d'une position où l'image est nette puis déplacez la lentille vers l'écran pour que l'image soit floue, - faire revenir progressivement la lentille vers l'objet, - constatez que l'image redevient de plus en plus nette puis arrêtez-vous dès qu'il vous semble que l'image devient floue de nouveau. - notez la position de la lentille. Deuxième borne - Procéder de la même manière mais en changeant de sens de parcours, notez la position de la lentille. ::: On suppose que l'intervalle trouvé est le double de l'incertitude élargie sur **une** observation de la position de la lentille. Autrement dit, sans vous en rendre compte, pour que votre image soit nette, vous placez quasiment toujours la lentille dans cet intervalle. La distance focale, notée $f'$, se calcule alors par $$f' = \dfrac{d \times D}{d + D}\, .$$ Compléter le code ci-dessous en laissant de côté, dans un premier temps, les incertitudes (= 0).

:::propriete[Incertitudes composées : cas de l'addition ou de la soustraction] Soit une grandeur $\lambda$ s'exprimant comme la somme ou la différence des grandeurs mesurables $a$ et $b$ : $$\lambda = a \pm b.$$ Soit u(a) et u(b) l'incertitude-type sur les grandeurs a et b respectivement. L'incertitude type sur la grandeur $\lambda$, notée $u(\lambda)$, vérifie : $$u(\lambda) = \sqrt{u(a)^2 + u(b)^2}$$ ::: :::exemple[Mesure d'une distance entre deux points au banc d'optique] Soit deux positions mesurées au banc d'optique : $x_1 = 100$ mm et $x_2 = 200$ mm. La distance entre les deux positions $L = x_2 - x_1$ est connu avec une incertitude-type de $1/\sqrt{6}$ car chaque position est connue avec une incertitude-type de $1/\sqrt{12}$. :::

:::propriete[Incertitudes composées : cas de la multiplication ou de la division] Soit une grandeur $\lambda$ s'exprimant comme le produit ou le rapport des grandeurs mesurables $a$ et $b$ : $$\lambda = a \times b \quad {\rm ou} \quad \lambda = a/b $$ Soit u(a) et u(b) l'incertitude-type sur les grandeurs a et b respectivement. L'incertitude type sur la grandeur $\lambda$, notée $u(\lambda)$, vérifie : $$\dfrac{u(\lambda)}{\lambda} = \sqrt{\left(\dfrac{u(a)}{a}\right)^2 + \left(\dfrac{u(b)}{b}\right)^2}$$ ::: :::exemple[Mesure de l'aire d'une feuille A4] Soit les deux côtés d'une feuille A4 mesurés à la règle : $\ell = 210$ mm et $L = 297$ mm. L'aire de la feuille $A = L\ell$ est connue avec l'incertitude-type de $297\times210\times \sqrt{\dfrac{1}{12\times 210^2} + \dfrac{1}{12\times 297^2}}$ $\rm mm^2$. :::

En plus de noter les valeurs de $d$ et $D$ pour les deux positions dans la cellule python, vous allez estimer l'incertitude associée à repérage de la position. Reprendre le code python en ajoutant les **valeurs** des incertitudes sur la position de l'écran, de l'objet et de la lentille. Ajouter le **calcul** de l'incertitude sur les distances lentille/écran et lentille/objet en vous aidant des propriétés ci-dessus. Répondez ensuite à la question ci-dessous :

## Méthode 3 — autocollimation :::experience[Réaliser] Placez la lentille convergente de 250 mm et écartez l'écran le plus loin possible de l'objet. Tenez à la main un miroir derrière la lentille et faites apparaître dans le plan de l'objet une réflexion, en modifiant l'inclinaison du miroir. Cherchez à obtenir une image nette dans le plan de l'objet et de même taille que celui-ci, en décalant conjointement la lentille et le miroir. Un seul expérimentateur tient le miroir, déplace la lentille et vérifie la netteté de l'image ; l'autre refait la même expérience avec une autre lentille. Mesurez alors la distance lentille-objet : c'est la distance focale de la lentille. :::

## Comparaison des trois méthodes

# Distance focale d'une lentille divergente (pour les rapides) :::experience[Réaliser] Avancez l'écran au 3/4 du banc et faire une image petite d'un objet avec la lentille convergente de 200 mm. Notez la position de l'écran, puis reculez-le au bout du banc. Placez une lentille divergente, de distance focale $f' = - 100$ mm, entre l'écran et la lentille convergente, et cherchez à obtenir une image nette sur l'écran **en ne bougeant que la lentille divergente**. Comparez la position de la lentille divergente à la position initiale de l'écran : l'image donnée par la lentille convergente se trouve-t-elle avant ou après la lentille divergente ? ::: Toutes les positions sont repérées sur la même graduation du banc d'optique, ce qui permet de les soustraire directement.

:::remarque La formule $f' = \dfrac{dD}{d+D}$ de la méthode 2 se retrouve ici en changeant le signe de l'une des deux distances : c'est exactement ce que traduit le calcul algébrique ci-dessus, où $\overline{\text{OA}}$ est positif au lieu d'être négatif. :::

# Mesure d'une distance focale - répétition des observations :::experience[Réaliser · Valider] Toujours avec la lentille convergente de 200 mm, déplacez à des endroits aléatoires l'écran puis déplacez la lentille pour obtenir une image nette, en faisant attention à ne pas rapprocher l'écran à moins de $4\times200$ mm de l'objet (condition issue d'une démonstration de cours). Relevez la distance lentille-objet et la distance lentille-image. Reportez l'ensemble de ces valeurs dans la cellule ci-dessous. ::: Le but de cette partie est de donner une valeur de la distance focale d'une lentille convergente et de vérifier si chacune de vos observations est compatible avec cette valeur. Notations utilisées dans le code — ce n'est pas une convention officielle, mais une proposition : - `t_` : l'objet est un tableau de type `np.array([...])` ; - `_moy` ou `moy` : moyenne ; - `u` : incertitude-type (***u**ncertainty*) ; - `_MC` : Monte-Carlo, c'est-à-dire des observations simulées ; - `t_d_obj` : tableau de vos mesures des distances objet-lentille.

## Vérification de chaque mesure Vos points expérimentaux sont-ils compatibles avec la valeur de $f'$ déterminée précédemment ? Le graphique ci-dessus ne suffit pas pour l'affirmer. Exécutez la cellule suivante.

### Comprendre les résultats affichés Le **premier graphique** représente les valeurs simulées de la distance focale à partir de chacune de vos observations. Chaque histogramme correspond aux observations simulées à partir d'un seul couple distance objet-lentille / distance image-lentille. L'incertitude associée est celle d'une règle graduée au millimètre. Remarquez que les distributions ne sont pas gaussiennes mais ont des formes de trapèzes. Le trait rouge représente la valeur moyenne obtenue à partir de vos mesures, et la zone rouge semi-transparente cette moyenne plus ou moins son incertitude-type. Le **deuxième graphique** reprend l'essentiel du premier sous une forme plus lisible, admise par la communauté des physiciens : un point représente la valeur moyenne d'un histogramme, et la barre représente deux fois l'écart-type, un au-dessus et un en dessous. Le **troisième graphique** représente l'écart normalisé de chaque mesure par rapport à la distance focale moyenne. Le trait noir correspond à la valeur 2, qui sépare par convention les observations incompatibles des observations compatibles. :::remarque[Trois causes possibles d'incompatibilité] Une observation incompatible avec votre mesure moyenne s'explique par trois raisons, qui ne s'excluent pas entre elles. **Une mauvaise manipulation :** mauvaise estimation des distances, image floue au moment de la mesure. Il faut alors refaire l'observation dans des conditions similaires. **Un modèle utilisé hors de son domaine d'application :** le calcul suppose une lentille mince utilisée dans les conditions de Gauss. Ce n'est plus le cas lorsque l'objet et l'image ne sont pas sur l'axe optique, lorsque l'un des deux est trop proche de la lentille — effet aggravé si c'est la face bombée qui est du côté proche — ou lorsque la distance focale est trop faible. **Des incertitudes sous-estimées :** l'observation est correcte, mais l'incertitude annoncée est trop optimiste. :::

:::objectif Construire une **lunette astronomique** à deux lentilles, puis mesurer son **grossissement** et le confronter à la valeur prévue par le modèle. Chemin faisant, vous apprendrez à éclairer un objet de manière adaptée, à choisir des lentilles de façon raisonnée selon leur distance focale, et à optimiser la qualité d'une image : alignement, limitation des aberrations. ::: :::materiel - Banc d'optique de 2 m. - Lampe avec condenseur et objet (lettre ou chiffre à fixer sur la lampe). - Quatre lentilles convergentes : 12,5 cm (bleue), 25 cm (rouge), 30 cm (jaune) et 50 cm (verte). - Miroir plan, pour l'autocollimation. - Écran recouvert d'une feuille de papier, crayon à papier et règle graduée. - Annexe imprimée, à compléter puis à photographier. ::: :::remarque[Utilisation du matériel] - Manipulez une lentille par la tranche pour éviter de la salir. Pour ne pas la rayer, replacez-la dans son sachet et non sur la paillasse. - Une fois un élément réglé, serrez **délicatement** son support : il ne doit plus bouger pendant la suite de l'expérience. - Remettez le matériel en l'état avant de quitter la salle. ::: @pdf[annexe-tp-lunette]

# Des lunettes et des astronomes Une lunette astronomique, ou lunette de Kepler, est un instrument d'optique composé de lentilles, qui augmente la luminosité et la taille apparente des objets du ciel. Kepler en a décrit le principe en 1611, dans sa *Dioptrice* : deux lentilles convergentes, l'une de grande focale, l'autre de courte focale. :::figures   {centre 70%} ::: *De gauche à droite : une lunette du commerce, d'objectif de focale 800 mm et de diamètre 60 mm, et d'oculaire de focale 6 mm ; Johannes Kepler (1571-1630) ; la grande lunette de l'Exposition universelle de Paris, en 1900, vue du côté de l'oculaire.* La grande lunette de 1900 reste la plus grande lunette jamais construite : son objectif mesurait 1,25 m de diamètre et 57 m de focale. Trop longue pour être orientée vers le ciel, elle était couchée horizontalement dans un tube de 60 m, au Palais de l'Optique, près de la tour Eiffel. Un grand miroir plan de 2 m de diamètre, le **sidérostat**, suivait le mouvement des astres et renvoyait leur lumière dans le tube.

# Préparation Préparez les questions suivantes avant la séance, en vous appuyant sur le cours, le TD et les documents ci-dessus. Elles ne sont pas notées, mais vous en aurez besoin pour réaliser le montage : lisez-les toutes avant de commencer. 1. Où se trouve un objet destiné à être observé avec une lunette astronomique ? Que peut-on dire des rayons issus d'un même point de cet objet lorsqu'ils arrivent sur la lunette ? 2. Comment l'œil qui regarde un tel objet accommode-t-il ? 3. Quelle doit être la particularité de la lunette, placée entre l'objet et cet œil, pour que l'observation se fasse sans fatigue ? 4. Quel est le nombre minimal de lentilles permettant de réaliser un tel instrument ? Comment doivent-elles être disposées ? :::definition[Grossissement d'un instrument] Le grossissement $G$ d'un instrument d'optique compare l'angle $\alpha'$ sous lequel on voit l'image à travers l'instrument à l'angle $\alpha$ sous lequel on voit l'objet à l'œil nu : $$G = \frac{\alpha'}{\alpha}$$ C'est une grandeur sans dimension et **algébrique** : elle est négative lorsque l'image est renversée. ::: 5. Parmi les quatre lentilles disponibles, lesquelles choisir pour l'objectif et pour l'oculaire afin que le grossissement soit **maximal en valeur absolue** ? Réservez-les. 6. Calculez le grossissement de la lunette du commerce présentée plus haut. La grande lunette de Paris était utilisée à un grossissement d'au moins 500 : quelle était alors la distance focale de son oculaire ?

# Réalisation du montage Le montage complet comporte quatre parties, alignées sur le banc dans cet ordre. {centre 94%} *Bilan du montage : l'éclairage ; un objet placé à l'infini grâce à la lentille $L_1$ ; la lunette, formée de l'objectif $L_3$ et de l'oculaire $L_4$ ; un œil réduit, formé de la lentille $L_2$ et d'un écran qui joue le rôle de rétine.* Vous allez d'abord construire l'objet à l'infini et l'œil, et mesurer ce que voit l'œil **sans** lunette. Vous glisserez ensuite la lunette entre les deux, sans toucher au reste. ## Éclairer l'objet et aligner le montage :::experience[Éclairer et aligner] - Placez la lampe avec condenseur et l'objet. Réglez la position de la lampe par rapport au condenseur pour que l'objet soit **éclairé uniformément**, et le plus intensément possible : l'image finale, observée après quatre lentilles, en aura besoin. - Réglez la hauteur de chaque élément pour que tous les centres soient sur un **même axe**, parallèle au banc. Les lois des lentilles minces supposent les conditions de Gauss, avec des rayons proches de l'axe : une lentille décentrée travaille sur ses bords, où les aberrations dégradent l'image. ::: ## Fabriquer un objet à l'infini :::experience[Autocollimation] Avec l'une des deux lentilles restantes, notée $L_1$, fabriquez un « objet à l'infini » par la méthode d'autocollimation, vue lors du TP sur le fonctionnement des lentilles : 1. placez la lentille $L_1$ après l'objet, à une distance voisine de sa focale ; 2. placez le miroir plan juste derrière $L_1$, perpendiculairement à l'axe ; 3. déplacez la lentille jusqu'à obtenir, dans le plan de l'objet, une image **nette, renversée et de même taille** que l'objet ; 4. retirez le miroir sans toucher à la lentille, et serrez délicatement son support. {centre 70%} Ne pas téléverser une image dans la cellule ci-dessous, utilisez l'image ci-dessus pour vos calculs. L'objet est alors dans le plan focal objet de $L_1$ : les rayons issus d'un même point de l'objet ressortent de $L_1$ parallèles entre eux, comme s'ils venaient d'une étoile. *Pourquoi l'image obtenue par autocollimation prouve-t-elle que l'objet est dans ce plan focal ?* ::: ## Fabriquer un œil réduit :::experience[Construire un « œil réduit »] Avec la dernière lentille, notée $L_2$, et un écran jouant le rôle de rétine, construisez un œil qui n'accommode pas, c'est-à-dire qui met au point sur l'infini. Placez-vous à l'autre extrémité du banc, en laissant **au moins 80 cm libres** après la lentille $L_1$ : la lunette viendra s'y glisser plus tard. Placez $L_2$, puis déplacez l'écran jusqu'à obtenir une image nette de l'objet à l'infini : l'écran est alors dans le **plan focal image** de $L_2$. Notez la distance entre $L_2$ et l'écran, comparez-la à la focale annoncée, puis fixez l'ensemble. ::: Les rayons issus d'un point $B$ de l'objet arrivent sur l'œil inclinés d'un angle $\alpha$ sur l'axe. *Exprimez la taille $y$ de l'image sur la rétine en fonction de $\alpha$ et de la distance focale $f'_2$ de l'œil* : vous en aurez besoin pour exploiter vos mesures. :::experience[Taille de l'image sur la rétine] Repérez au crayon les deux bords de l'image sur la feuille de l'écran, puis mesurez leur écart $y$ à la règle. Choisissez un **sens positif** sur l'écran, par exemple vers le haut, et donnez à $y$ son signe : positif si l'image est dans le sens de l'objet, négatif si elle est renversée. Les bords de l'image ne sont jamais parfaitement nets. Plutôt que de deviner une incertitude, **encadrez** la mesure : notez la plus petite valeur $|y|_{\min}$ et la plus grande valeur $|y|_{\max}$ compatibles avec ce que vous voyez. Pour contrôler vos réglages, mesurez aussi la hauteur $AB$ de l'objet : connaissant $f'_1$ et $f'_2$, quelle taille $|y|$ attendiez-vous ? ::: :::propriete[D'un encadrement à l'incertitude-type] Une grandeur dont on sait seulement qu'elle est comprise entre $a$ et $b$, sans préférence à l'intérieur de cet intervalle, suit une loi uniforme. Son incertitude-type vaut $$u = \frac{b-a}{\sqrt{12}}$$ C'est une évaluation de **type B** : elle ne repose pas sur une série statistique de mesures répétées. :::

## Construire la lunette :::experience[Réaliser · Monter la lunette entre l'objet et l'œil] Sans toucher ni à l'objet à l'infini, ni à l'œil : 1. placez l'objectif $L_3$ juste après la lentille $L_1$ ; 2. placez l'oculaire $L_4$ à une distance de l'objectif voisine de $f'_3 + f'_4$ ; 3. déplacez **uniquement l'oculaire** jusqu'à retrouver une image nette sur l'écran de l'œil. Si l'image paraît tronquée ou assombrie sur les bords, c'est que certains rayons manquent l'oculaire : prenez un objet plus petit, ou recentrez les lentilles. ::: *Pourquoi l'image redevient-elle nette sur l'écran lorsque la lunette est bien réglée ?* Mesurez la distance $O_3O_4$ entre l'objectif et l'oculaire et comparez-la à $f'_3 + f'_4$. Après la traversée de la lunette, les rayons arrivent sur l'œil inclinés d'un angle $\alpha'$. *Quelle est alors la taille $y'$ de l'image sur la rétine ? Qu'observez-vous sur le sens de l'image ?* Ne pas téléverser une image dans la cellule ci-dessous, utilisez l'image ci-contre pour faire vos calculs. {centre 70%}

# Exploitation ## Grossissement mesuré et grossissement attendu :::propriete[Incertitude d'un rapport] Soit une grandeur $\lambda = a/b$, où $a$ et $b$ sont mesurées indépendamment avec les incertitudes-types $u(a)$ et $u(b)$. Son incertitude-type vérifie $$\frac{u(\lambda)}{|\lambda|} = \sqrt{\left(\frac{u(a)}{a}\right)^2 + \left(\frac{u(b)}{b}\right)^2}$$ :::

:::convention[Écart normalisé] Pour comparer quantitativement un résultat $a_1 \pm u(a_1)$ à une valeur de référence $a_2 \pm u(a_2)$, on calcule leur **écart normalisé** : $$z = \frac{\left|a_1 - a_2\right|}{\sqrt{u^2(a_1) + u^2(a_2)}}$$ - $z < 2$ : les résultats sont *a priori* compatibles, l'expérience ne permet pas de les distinguer ; - $z > 2$ : les résultats sont incompatibles, il faut chercher une source d'erreur. ::: Reportez vos mesures dans la cellule ci-dessous, complétez les quatre calculs, puis exécutez-la. La valeur de référence est supposée exacte.

:::remarque[Pour aller plus loin : le grossissement n'est pas tout] Pour l'astronome, le diamètre de l'objectif compte autant que le grossissement. La lunette recueille la lumière sur toute la surface de son objectif, là où l'œil nu ne la recueille que par sa pupille, de 6 mm environ la nuit. L'objectif de 1,25 m de la grande lunette de Paris captait ainsi $(1250/6)^2 \simeq 4\times10^4$ fois plus de lumière que l'œil. Elle fut pourtant un échec scientifique. Installée à basse altitude, au cœur d'une grande ville, sous un ciel pollué et éclairé, dans un tube de 60 m non ventilé, elle ne servit presque jamais aux astronomes : la qualité du ciel limite une lunette bien avant la taille de son objectif. Faute d'acheteur, elle fut démantelée après l'Exposition ; ses objectifs et son miroir sont conservés à l'Observatoire de Paris. :::

**Problématique : que vaut l'indice de réfraction $n$ du plexiglas ?** **Matériel** : demi-cylindre de plexiglas, disque optique gradué, source lumineuse. {centre 50%} **Construction des protocoles** : deux protocoles sont a mettre en place, un qui donnera rapidement une mesure de l'indice $n$ mais pas forcément très "précise" et un autre dont les données pourront être analysées de différentes manières donnant une valeur de n plus "précise". L'intérêt pédagogique ici n'est pas forcément d'obtenir l'indice optique mais plutôt de vous encourager lors d'une mesure à toujours donner une incertitude sur le résultat.

# Méthode rapide : utiliser le phénomène de réflexion totale. ## Obtenir une valeur d'indice sans incertitude **Construire et mettre en place un protocole** permettant de mesurer l'indice du plexiglas **grâce au phénomène de réflexion totale**. Pour vous aider dans cette recherche voici deux interrogations : i) Dans quel sens utiliser le dispositif ? Au niveau du dioptre plan air/plexiglas, quel doit être le milieu incident pour que le faisceau puisse subir une réflexion totale ? ii) Sur l'ensemble des angles d'incidence produisant une réflexion totale, lequel est utile à la détermination de l'indice optique du plexiglas ? iii) Que se passe-t'il au niveau du bord arrondi du demi-cylindre de plexiglas si le faisceau ne passe pas par le centre de sa face plate ? Quel en sera l'impact sur la mesure ? iv) Savez-vous repérer la normale au dioptre plan du demi-cylindre et ainsi mesurer un angle d'incidence ?

Compléter la cellule python ci-dessous avec votre valeur d'angle limite `i_lim` et la valeur `gd` de plus petite graduation du disque. Utilisez une formule du cours pour déterminer avec ce code python l'indice n du plexiglas en utilisant `i_lim`. Quelques commandes python utiles : - `np.radians()` convertit en radians - `np.sin()` s'applique directement à toute la liste (par exemple `print(np.sin([0.1,0.2])` affichera la liste des valeurs de sin(0,1) et de sin(0,2)). - `np.round(n, i)` arrondi le résultat `n` avec `i` chiffres après la virgule.

## Obtenir une mesure avec incertitude de l'indice optique du plexiglas :::remarque[tirage aléatoire] Nous allons utiliser la commande `np.random.uniform(i_lim - gd/2, i_lim + gd/2, N_TIRAGES)` pour générer un ensemble de valeurs d'angle d'incidence (1 million de valeurs, donné par `N_TIRAGES`). Ces valeurs aléatoires sont centrées sur la valeur de l'angle lue et l'écart à cette dernière ne dépasse pas la moitié du plus petit écart de graduation de l'appareil `gd`. Ces valeurs sont réparties uniformément dans l'intervalle, d'où la dénomination "uniform" : il n'y a pas plus de chance d'avoir une valeur plutôt qu'une autre dans l'intervalle. Vérifiez bien que `i_lim` et `gd` sont renseignés dans le code précédent (vous pouvez relancer la cellule précédente) et vérifiez bien que les bibliothèques numpy et pyplot ont été chargées (relancer la première cellule python si nécessaire). ::: :::exemple[tirage aléatoire pour une règle] Tout appareil gradué fonctionne ainsi sans informations supplémentaires. Si vous mesurez une longueur de 5,1 cm avec une règle graduée au millimètre, vous pourrez simulez par exemple un ensemble de 100000 observations en utilisant cette commande python `L = np.random.uniform(5.1 - 0.1/2, 5.1 + 0.1/2, 100000)`. Cela vous permet d'estimer l'incertitude type u(L) sur votre mesure de L en calculant l'écart-type de cette série d'observations : `np.std(L,ddof=1)`. Votre mesure de longueur sera donc 5,1 cm $\pm$ le double de cette valeur. Une autre façon de déterminer cette incertitude liée à une graduation s'effectue par le calcul (le calcul est hors programme mais le résultat est à connaître). Sans le détailler, le calcul donne L = 5,1 cm $\pm 0,1/\sqrt{3}$, autrement dit l'incertitude étendue vaut le plus petit écart de graduation, ici 1 mm, multiplié par $1/\sqrt{3}$. La valeur numérique de ce rapport est approximativement 0,57. **On dira souvent pour simplifier que le résultat d'une mesure à la règle est précise à la demi-graduation** (en faisant l'approximation grossière que $0,57 \simeq 0,5$). ::: **Lancez le code ci-dessous** (rien à compléter[^Il faut bien sûr que `i_lim`, `gd` et les bibliothèques soient en mémoire, ce qui devrait être le cas si les cellules python ont été exécutées !]). L'histogramme qui s'affiche correspond aux valeurs de n possibles connaissant l'incertitude lié à l'appareil de mesure. Autrement formulé, les valeurs de n possibles sont contenues dans un intervalle (ne tient pas compte d'une potentielle erreur de lecture ou défaut de réglage dans l'expérience). L'incertitude affichée en titre du graphique est l'**incertitude élargie** (le double de l'incertitude type).

**Comparez vos résultats entre groupes : méthode qualitative** Vous pouvez maintenant **comparer qualitativement votre mesure** : est-ce que votre intervalle des valeurs de n a un recouvrement non nul avec celui d'un autre groupe ? Répondez dans la zone réponse qui suit.

**Comparez vos résultats entre groupes : méthode quantitative** :::convention[z-score et valeur pivot "2"] Pour être quantitatif dans la comparaison entre deux mesures, on crée une quantité mesurable du "recouvrement entre mesures", appelé **z-score** ou **écart normalisé** dont la définition est donné en dessous. La vérification de la compatibilité des résultats passe par la mesure de cet écart normalisé et sa comparaison à une valeur pivot, par convention égale à 2 pour les expériences que nous effectuons en TP (sans enjeu de découverte majeure / expériences de vérification) : - Si z > 2 les résultats ne sont pas compatibles entre eux, il faut trouver une source d'erreur (protocole, processus de mesure, matériel différent) - Si z < 2 les résultats sont *a priori* compatibles, en tout cas l'expérience ne permet pas de distinguer une différence entre les deux mesures ::: :::definition[z-score] Prenons par exemple deux groupes (labellisés 1 et 2) mesurant une grandeur notée a. Supposons qu'ils répètent un certain nombre de fois l'expérience pour obtenir plusieurs observations pour a. Le groupe 1 devra d'abord calculer la moyenne des valeurs de a, notée $\bar a_1$, puis calculer l'incertitude sur cette valeur moyenne $u(\bar a_1).$ Même chose pour le groupe 2. Le z-score s'écrit : $$z = \frac{\left|\bar a_1 - \bar a_2\right|}{\sqrt{u^2(\bar a_1)+u^2(\bar a_2)}}$$ :::

Calculez la valeur de l'écart normalisé avec un autre groupe en remplissant le code python ci-dessous. Attention, la valeur de l'incertitude type est la moitié de l'incertitude élargie (celle affichée dans l'histogramme plus haut).

# Méthode précise : utiliser la loi de Snell-Descartes sur un ensemble de points ## Obtenir une valeur d'indice et d'incertitude par une moyenne et un écart-type. **Construire et mettre en place un protocole** permettant de mesurer l'indice du plexiglas **grâce au phénomène de réfraction**. Pour vous aider dans cette recherche voici deux interrogations : i) Dans quel sens utiliser le dispositif (air -> plexiglas ou plexiglas -> air) pour que le rayon réfracté existe toujours ? On utilisera ce sens dans le protocole. ii) Quels sont **les** angles à mesurer ? Quelle formule nous permet avec ces angles de remonter à l'indice optique du plexiglas ? @saut **Mesure des angles de réfraction** Ci-dessous un tableau des valeurs des angles de réfraction à compléter.

:::remarque[numpy vs boucles for] Nous utiliserons régulièrement les fonctions des bibliothèques `numpy` plutôt que celles de `math` en physique-chimie. Pour le calcul d'indice par exemple, utiliser `sin` de la bibliothèque `math` conduit à écrire une boucle for parcourant les listes d'angles `i1` et `i2`. Utiliser `np.sin` de `numpy` effectue cette boucle for "en interne", plus besoin de la coder. Aussi, écrire `np.sin(i1)/np.sin(i2)` produira un tableau de valeurs[^un "array", semblable à une liste mais c'est un autre type] du rapport $\sin(i_1)/\sin(i_2)$ pour chaque couple de valeurs $(i_1, i_2)$ que vous avez observé. ::: En isolant l'indice `n` du plexiglas dans la formule précédente et en l'exprimant en fonction des angles `i1` et `i2`, complétez le code ci-dessous. Utilisez `np.sin` et `np.radians`. Plusieurs valeurs d'indice doivent s'afficher, une pour chaque couple $(i_1, i_2)$.

**Moyenne et écart type des valeurs d'indice** Voici une aide python pour déterminer à la fois l'indice optique moyen mais aussi l'incertitude autour de cette valeur. | Grandeur | Sens | Python | |---|---|---| | $\bar n$ | moyenne | `np.mean(n)` | | $\sigma = u(n)$ | écart-type expérimental = incertitude sur **une** mesure | `np.std(n, ddof=1)` | | $u(\bar n) = \sigma/\sqrt{N}$ | incertitude sur **la moyenne** | `np.sqrt(N)` | `ddof=1` impose le dénominateur $N-1$ ; sans lui numpy divise par $N$ et sous-estime $\sigma$. Complétez le code ci-dessous avec vos valeurs d'indice

Recopier ce résultat **avec le bon nombre de chiffres significatifs** : l'incertitude s'écrit avec 1 ou 2 chiffres significatifs, la valeur est arrondie au même rang que le dernier des chiffres. Utilisez la cellule ci-dessous pour vérifier la façon d'écrire **votre** résultat.

:::remarque[Incertitude de type A] L'incertitude que vous venez de déterminer est une incertitude dite "de type A", c'est une incertitude obtenue par une statistique sur un ensemble d'observations. ::: **Comparaison de vos résultats** Comparez vos deux résultats d'indice, celui obtenu par réflexion totale et ce dernier à l'aide d'un écart normalisé. Rappel : le couple de variables (indice, incertitude type) a été nommé dans le code python (`ns_moy`, `u_ns`) pour la première expérience et (`n_moy`, `u`) pour la deuxième.

## Tracé graphique des données La loi de réfraction s'écrit $\sin i_2 = \dfrac{1}{n}\sin i_1$ : c'est l'équation d'une droite $y=ax$ en prenant $x=\sin i_1$ et $y=\sin i_2$, passant par l'origine, de pente $a = 1/n$. Une façon de représenter les observations est donc de tracer pour chaque $x$ la valeur de $y$ qui correspond dans un graphe. Une régression linéaire permet de donner la valeur de $n$. Nous allons aussi rajouter sur le graphe les incertitudes de mesure liées à l'appareil de mesure. Nous allons supposer que les valeurs de l'angle d'incidence $i_1$, celles que vous choisissez, ont une incertitude faible en comparaison des valeurs $i_2$ mesurées, de telle sorte qu'au final, l'incertitude porte sur les valeurs de y et pas de x (les barres d'erreurs affichées sont verticales et il n'y en a pas horizontalement). Lisez et exécutez le code qui suit sans le compléter.

**Pourquoi les deux estimations diffèrent** Le poids accordé à chaque point sont à l'origine des écarts d'estimation. La pente des moindres carrés vaut $$a = \frac{\sum_i x_i y_i}{\sum_i x_i^2}$$ de sorte que chaque point y intervient avec le poids $\frac{x_i^2}{\sum_j x_j^2}$. Le rapport des poids entre le point à 10° et celui à 80° vaut $\frac{\sin^2 10^\circ}{\sin^2 80^\circ} = 3,1\%$ : le premier compte trente fois moins que le second. Ce n'est pas un défaut de la méthode mais sa qualité, puisque l'incertitude relative, en $\frac{u(i_2)}{\tan i_2}$, est justement la plus mauvaise aux faibles incidences. La moyenne des rapports (incertitude de type A), elle, traite tous les points sur un pied d'égalité : elle laisse les points les moins fiables peser autant que les meilleurs, et ce sont eux qui déplacent le résultat. **La nature des deux incertitudes** Celle du fit[^anglicisme très courant pour dire ajustement ou modélisation] est une évaluation de type B : elle propage la résolution du disque, connue a priori, et répond à la question « quelle précision ma graduation autorise-t-elle au mieux ? ». L'écart-type des rapports est une évaluation de type A : il constate la dispersion effective des mesures, sans rien supposer de l'instrument, et répond à « de combien mes points s'éparpillent-ils réellement ? ». Deux questions différentes, donc deux nombres différents — leur coïncidence n'a rien d'obligatoire. **Ce que la comparaison enseigne** Si la dispersion observée dépasse nettement ce que prédit la résolution du disque, c'est qu'une source d'erreur échappe au modèle : difficulté à pointer le rayon réfracté, alignement imparfait du zéro, parallaxe à la lecture. Si elle lui est très inférieure, c'est l'incertitude de lecture qui a été surévaluée, ou les mesures qui ne sont pas indépendantes. Un rapport de l'ordre de l'unité valide à la fois le modèle et l'estimation d'incertitude, et c'est cette confrontation, bien plus que le chiffre final, qui constitue la démarche expérimentale.