Systèmes optiques à base de lentilles

Trois rayons sont toujours constructibles depuis le point B : celui parallèle à l'axe (qui émerge par le foyer image), celui passant par le foyer objet (qui émerge parallèle à l'axe) et celui passant par le centre optique (non dévié). Deux suffisent. Pour un objet virtuel, ce sont les prolongements des rayons incidents qui se croisent en B : les rayons réels arrivent donc sur la lentille en se dirigeant vers B.

Pour le dernier cas, où un rayon quelconque est à prolonger, utiliser un foyer secondaire : tracer le rayon parallèle passant par le centre optique, il coupe le plan focal image au foyer secondaire par lequel passe le rayon émergent.

On note $f'$ la distance focale image et $\gamma_t = \overline{\text{OA}'}/\overline{\text{OA}}$ le grandissement transversal. La formule de Descartes $\dfrac{1}{\overline{\text{OA}'}} - \dfrac{1}{\overline{\text{OA}}} = \dfrac{1}{f'}$ permet de vérifier chaque construction.

Lentille convergente (colonne de gauche), de haut en bas :

1. Objet réel avant F : image réelle, renversée, réduite. $\gamma_t < 0$. C'est le cas de l'appareil photographique.

2. Objet réel entre F et O : image virtuelle, droite, agrandie. $\gamma_t > 1$. C'est le cas de la loupe.

3. Objet virtuel entre O et F' : image réelle, droite, réduite. $\gamma_t$ compris entre 0 et 1.

4. Objet virtuel au-delà de F' : image réelle, droite, réduite. $\gamma_t$ compris entre 0 et 1.

5. Rayon quelconque à prolonger : construction par foyer secondaire image.

Lentille divergente (colonne de droite), de haut en bas :

1. Objet réel loin de la lentille : image virtuelle, droite, réduite. $0 < \gamma_t < 1$.

2. Objet réel proche de la lentille : image virtuelle, droite, réduite. $\gamma_t$ plus proche de 1 que dans le cas précédent.

3. Objet virtuel entre O et F : image réelle, droite, agrandie. $\gamma_t > 1$.

4. Objet virtuel au-delà de F : image virtuelle, renversée, réduite. $\gamma_t < 0$.

5. Rayon quelconque à prolonger : construction par foyer secondaire image, situé cette fois dans le plan focal image virtuel, avant la lentille.

Deux règles se dégagent, à retenir : une image droite ($\gamma_t > 0$) correspond toujours à un objet et une image de natures différentes (l'un réel, l'autre virtuel), et une seule situation donne une image renversée à partir d'un objet réel, celle de l'objet réel avant le foyer objet d'une lentille convergente.

La Lune est un objet à l'infini : son image se forme dans le plan focal image. Le rayon passant par le centre optique n'étant pas dévié, il donne directement la taille de l'image.

La Lune étant à l'infini, son image se forme dans le plan focal image. Le rayon issu du bord de la Lune et passant par le centre optique n'est pas dévié : il fait donc l'angle $\alpha$ avec l'axe optique de part et d'autre de la lentille. La taille de l'image vaut
$$A'B' = f' \tan \alpha \simeq f' \alpha = 100 \times 10^{-2} = 1 \text{ mm}$$

Le Soleil a sensiblement le même diamètre angulaire que la Lune, environ $9 \times 10^{-3}$ rad — c'est précisément cette coïncidence qui rend possibles les éclipses totales. Son image mesure donc elle aussi environ 1 mm. Une focale de 100 mm est donc très insuffisante pour photographier les cratères lunaires : il faut viser le mètre.

Distance de la Lune : son diamètre angulaire vaut $\alpha = 2R/D$, d'où
$$D = \frac{2R}{\alpha} = \frac{2 \times 1700}{10^{-2}} = 3{,}4 \times 10^5 \text{ km}$$

La lumière met alors $t = D/c = 3{,}4 \times 10^8/3 \times 10^8 \approx 1{,}1$ s pour nous parvenir depuis la Lune.

Pour le Soleil, le même raisonnement exige de connaître son rayon, $R \approx 7 \times 10^5$ km, ce qui donne $D \approx 1{,}4 \times 10^8$ km et un temps de trajet
$$t = \frac{1{,}4 \times 10^{11}}{3 \times 10^8} \approx 470 \text{ s} \approx 8 \text{ min}$$

1. La formule de Descartes s'écrit directement $y - x = 1/f'$, soit
$$y = x + \frac{1}{f'}$$

L'ensemble des couples possibles est donc une droite de pente 1, d'ordonnée à l'origine $1/f'$ : positive pour une lentille convergente, négative pour une divergente. Toute la théorie des lentilles minces tient dans cette unique droite.

2. L'objet est réel si $\overline{\text{OA}} < 0$, donc si $x < 0$, et virtuel si $x > 0$. L'image est réelle si $y > 0$ et virtuelle si $y < 0$. Les quatre quadrants du plan correspondent donc aux quatre combinaisons, et les portions de la droite qui les traversent redonnent exactement les tableaux du cours.

3. Posons $\overline{\text{OA}} = -p$ avec $p > 0$ pour un objet réel, et $\overline{\text{OA}'} = p' > 0$ pour une image réelle. La formule de conjugaison devient
$$\frac{1}{p} + \frac{1}{p'} = \frac{1}{f'}$$

et la distance objet-image vaut $D = p + p'$. En multipliant les deux membres :
$$\frac{D}{f'} = (p + p')\left(\frac{1}{p} + \frac{1}{p'}\right) = 2 + \frac{p}{p'} + \frac{p'}{p} \geqslant 4$$

la dernière inégalité venant de $u + 1/u \geqslant 2$ pour tout $u > 0$, avec égalité si et seulement si $p = p'$. On a donc $D \geqslant 4f'$.

Conséquence pratique très utile en travaux pratiques : avec une lentille de focale 200 mm, il est impossible de former une image réelle si l'écran est à moins de 80 cm de l'objet, quelle que soit la position de la lentille. Et à la distance minimale, l'image est de même taille que l'objet.

Le centre de courbure du dioptre sphérique est le centre O de la face plane : la normale au point d'impact est donc portée par le rayon du cercle. Dans le triangle formé par ce centre, le point d'impact et le point A, la relation des sinus donne directement la position de A.

L'image A' du point objet ne se forme pas dans le plan focal, mais un peu après : la tache observée dans le plan focal est la section du faisceau convergent à cet endroit. Deux triangles semblables suffisent à la calculer.

2. La formule de Descartes donne la position de l'image : $\dfrac{1}{\overline{\text{OA}'}} = \dfrac{1}{f'} - \dfrac{1}{D}$, soit $\overline{\text{OA}'} = \dfrac{f'D}{D-f'}$, située après le plan focal image.

Le faisceau émergent est un cône qui s'appuie sur toute la lentille (diamètre $L$) et converge en A'. Dans le plan focal, à la distance $f'$, le théorème de Thalès donne
$$\frac{\ell}{L} = \frac{\overline{\text{OA}'} - f'}{\overline{\text{OA}'}} = 1 - \frac{f'}{\overline{\text{OA}'}}$$

En remplaçant $\overline{\text{OA}'}$ par son expression, $\dfrac{f'}{\overline{\text{OA}'}} = \dfrac{D-f'}{D} = 1 - \dfrac{f'}{D}$, d'où le résultat remarquablement simple
$$\boxed{\ell = \frac{L f'}{D}}$$

On peut le retrouver directement : $\ell = \alpha f'$ avec $\alpha = L/D$ le diamètre angulaire de la lentille vu depuis l'objet.

3. La tache est indiscernable d'un point si $\ell < h$, soit
$$\frac{Lf'}{D} < h \qquad \text{c'est-à-dire} \qquad D > \frac{Lf'}{h}$$

Plus le détecteur est résolvant (plus $h$ est petit), plus la distance à partir de laquelle l'objet peut être considéré comme à l'infini est grande. La notion d'infini n'a donc rien d'absolu : elle dépend de l'instrument d'observation.

4. Pour un objet réellement à l'infini, les rayons incidents sont parallèles et convergent exactement en F' : la tache est réduite à un point. La condition $D > Lf'/h$ exprime que l'objet, sans être à l'infini, se comporte comme s'il y était du point de vue du détecteur : les deux situations sont expérimentalement indiscernables.

5. La tache de diffraction due à la pupille circulaire de diamètre $L$ a un diamètre angulaire de l'ordre de $\lambda/L$, soit une taille dans le plan focal
$$\ell_{\text{diff}} \sim \frac{\lambda f'}{L}$$

Avec $\lambda = 500$ nm, $f' = 100$ mm et $L = 2$ cm, cela donne quelques micromètres. Aucun détecteur associé à cette lentille ne peut donc résoudre mieux que cette taille : $h$ ne peut pas descendre en dessous de $\ell_{\text{diff}}$. En reportant dans la condition précédente, la distance à partir de laquelle l'objet est à l'infini reste bornée :
$$D > \frac{Lf'}{\ell_{\text{diff}}} \sim \frac{L^2}{\lambda}$$

soit quelques centaines de mètres pour les valeurs ci-dessus. C'est l'optique ondulatoire qui met une limite à un raisonnement d'optique géométrique.

6. Un objet est à l'infini lorsque la tache qu'il forme dans le plan focal image est trop petite pour être distinguée d'un point par le détecteur utilisé. Ce n'est pas une propriété de l'objet seul, mais du triplet objet-lentille-détecteur.

7. La formule de Descartes s'écrit $\dfrac{1}{\overline{\text{OA}'}} = \dfrac{1}{f'} + \dfrac{1}{\overline{\text{OA}}}$. Quand $\overline{\text{OA}} \to -\infty$, le terme $1/\overline{\text{OA}}$ tend vers zéro et $\overline{\text{OA}'} \to f'$ : l'image se forme dans le plan focal image. C'est la définition même du foyer image.

Un œil emmétrope au repos forme sur sa rétine l'image d'un objet à l'infini : la rétine est donc dans le plan focal image du dioptre. Il suffit de calculer la distance focale image d'un dioptre sphérique.

La relation de conjugaison du dioptre sphérique de sommet S et de centre C s'écrit, avec la lumière allant du milieu d'indice $n_1$ vers le milieu d'indice $n_2$ :
$$\frac{n_2}{\overline{\text{SA}'}} - \frac{n_1}{\overline{\text{SA}}} = \frac{n_2 - n_1}{\overline{\text{SC}}}$$

L'œil emmétrope au repos vise à l'infini : l'objet est à l'infini et son image se forme sur la rétine, qui est donc dans le plan focal image. En faisant tendre $\overline{\text{SA}}$ vers l'infini :
$$\overline{\text{SA}'} = f' = \frac{n_2\,\overline{\text{SC}}}{n_2 - n_1}$$

Application numérique avec $n_1 = 1$, $n_2 = 1{,}33$ et $\overline{\text{SC}} = R = 6$ mm (le centre C est situé après S dans le sens de propagation) :
$$f' = \frac{1{,}33 \times 6}{1{,}33 - 1} = \frac{7{,}98}{0{,}33} \approx 24 \text{ mm}$$

La rétine se trouve donc à environ 24 mm de la cornée, ce qui correspond effectivement à la longueur d'un œil humain. Ce modèle très fruste, à un seul dioptre, rend déjà correctement compte de la dimension de l'organe.

Deux remarques utiles pour la suite. D'abord, c'est la cornée qui assure l'essentiel de la convergence de l'œil, le cristallin ne servant qu'à l'ajuster lors de l'accommodation. Ensuite, le saut d'indice à l'entrée de l'œil est bien plus faible sous l'eau qu'à l'air libre, ce qui explique la vision très floue du nageur les yeux ouverts et l'intérêt du masque, qui rétablit une interface air-cornée.

Corriger la myopie, c'est permettre à l'œil de voir net à l'infini sans accommoder : la lentille doit donc donner, d'un objet à l'infini, une image située au punctum remotum de l'œil. Attention à compter les distances depuis la lentille, et non depuis l'œil.

L'œil myope ne voit net qu'entre 10 cm et 30 cm : au-delà de son punctum remotum, l'image se forme en avant de la rétine. La lentille de correction doit rendre l'infini visible sans accommodation, c'est-à-dire donner d'un objet à l'infini une image au punctum remotum de l'œil.

Cette image se forme donc à 30 cm de l'œil, soit à 29 cm de la lentille, et en avant de celle-ci :
$$f' = \overline{\text{OA}'} = -29\ \text{cm} \qquad \text{d'où} \qquad V = \frac{1}{f'} = \frac{1}{-0{,}29} \approx -3{,}4\ \delta$$

La lentille est divergente, ce qui est la signature de la correction d'une myopie. En pratique l'opticien délivrerait un verre de $-3{,}5\ \delta$, les verres étant taillés par quarts de dioptrie.

Le punctum remotum de l'ensemble est alors rejeté à l'infini : c'est précisément l'objectif du dispositif, et c'est ce qui définit la vergence choisie.

Il est instructif de calculer aussi ce que devient le punctum proximum. L'objet dont l'image se forme au punctum proximum de l'œil, soit à 9 cm avant la lentille, vérifie
$$\frac{1}{\overline{\text{OA}}} = \frac{1}{\overline{\text{OA}'}} - \frac{1}{f'} = \frac{1}{-9} - \frac{1}{-29} \approx -0{,}077\ \text{cm}^{-1} \qquad \text{soit} \qquad \overline{\text{OA}} \approx -13\ \text{cm}$$

La correction éloigne donc le punctum proximum de 10 à 13 cm environ. Le myope corrigé voit l'infini, mais perd en vision rapprochée : c'est l'inconvénient bien connu des porteurs de lunettes, qui les retirent volontiers pour lire de très près.

Il n'est pas nécessaire de connaître la structure de l'œil : il suffit de savoir où doit se trouver l'objet que l'œil regarde. La formule de Newton, écrite depuis le foyer objet de l'oculaire, donne directement FA.

1. Un œil qui n'accommode pas vise à l'infini : l'objet qu'il regarde effectivement, c'est-à-dire l'image donnée par l'oculaire, doit être à l'infini. Or l'image par une lentille convergente est à l'infini si et seulement si l'objet est dans son plan focal objet. L'objet est donc en F.

La structure interne de l'œil n'intervient pas : seule compte la position de l'objet que l'œil est capable de voir net, ce qui est le sens de l'indication de l'énoncé.

2. Lorsque l'œil accommode au punctum proximum, l'image donnée par l'oculaire doit se former à la distance $d_m = 25$ cm en avant de l'œil, donc pratiquement en avant de l'oculaire puisque les deux sont accolés. L'objet A est alors légèrement plus proche de la lentille que F.

3. La formule de Newton $\overline{\text{FA}} \cdot \overline{\text{F}'\text{A}'} = -f'^2$ avec $\overline{\text{OA}'} = -d_m$, donc $\overline{\text{F}'\text{A}'} = -d_m - f'$, donne
$$\boxed{\overline{\text{FA}} = \frac{f'^2}{d_m + f'} \simeq \frac{f'^2}{d_m}}$$

Application numérique avec $f' = 1$ cm et $d_m = 25$ cm :
$$\overline{\text{FA}} = \frac{1}{26} \approx 0{,}04\ \text{cm} = 0{,}4\ \text{mm}$$

L'œil nu voit net de 25 cm à l'infini ; à travers l'oculaire, la plage des positions d'objet vues nettes se réduit à quatre dixièmes de millimètre. Le viseur pointe donc un plan objet quasiment unique, ce qui en fait un instrument de mesure de position : c'est exactement l'usage qu'on en fait sur un banc d'optique pour repérer un objet ou une image.

Le résultat varie comme $f'^2$ : diviser la focale de l'oculaire par deux réduit la profondeur de champ d'un facteur quatre. Un viseur précis est donc un viseur de très courte focale.