Construire l’image d’un objet situé à distance finie ou infinie à l’aide de rayons lumineux, identifier sa nature réelle ou virtuelle.
🎯 Capacité exigible
Les tracés sont faits à la règle aussi bien sur feuille que sur le tableau de colle. Savoir utiliser les foyers secondaires est essentiel pour les systèmes optiques composés de plusieurs lentilles.
1Nature d'une image pour le système optique suivant
On considère deux systèmes optiques successifs. Le premier transforme un objet réel A en image réelle A'. Schématiser la situation. Le deuxième système est placé après l'image A' et transforme A' en A'', image réelle de A' par le deuxième système. Schématiser la situation. À quoi correspond A' pour le deuxième système optique ? Si ce système optique est placé avant A', que devient A' pour celui-ci ?
2Image d'un objet situé au foyer objet
En utilisant le principe du retour inverse de la lumière, que dire de l'image d'un objet situé sur le foyer objet d'une lentille ?
3Construction de l'image d'un objet à l'infini hors de l'axe
Construire l'image d'un objet situé à l'infini et hors de l'axe optique, pour une lentille convergente puis pour une lentille divergente.
4Construction d'images à travers une lentille mince
Construire l'image des objets AB suivants ou prolonger les rayons lumineux suivants. À chaque tracé, indiquer la nature de l'image et le signe du grandissement transversal.
La colonne de gauche concerne une lentille convergente, celle de droite une lentille divergente. Les objets en trait plein sont réels, ceux en pointillés sont virtuels.
💡 Indice
Trois rayons sont toujours constructibles depuis le point B : celui parallèle à l'axe (qui émerge par le foyer image), celui passant par le foyer objet (qui émerge parallèle à l'axe) et celui passant par le centre optique (non dévié). Deux suffisent. Pour un objet virtuel, ce sont les prolongements des rayons incidents qui se croisent en B : les rayons réels arrivent donc sur la lentille en se dirigeant vers B.
Pour le dernier cas, où un rayon quelconque est à prolonger, utiliser un foyer secondaire : tracer le rayon parallèle passant par le centre optique, il coupe le plan focal image au foyer secondaire par lequel passe le rayon émergent.
✅ Correction
On note $f'$ la distance focale image et $\gamma_t = \overline{\text{OA}'}/\overline{\text{OA}}$ le grandissement transversal. La formule de Descartes $\dfrac{1}{\overline{\text{OA}'}} - \dfrac{1}{\overline{\text{OA}}} = \dfrac{1}{f'}$ permet de vérifier chaque construction.
Lentille convergente (colonne de gauche), de haut en bas :
1. Objet réel avant F : image réelle, renversée, réduite. $\gamma_t < 0$. C'est le cas de l'appareil photographique.
2. Objet réel entre F et O : image virtuelle, droite, agrandie. $\gamma_t > 1$. C'est le cas de la loupe.
3. Objet virtuel entre O et F' : image réelle, droite, réduite. $\gamma_t$ compris entre 0 et 1.
4. Objet virtuel au-delà de F' : image réelle, droite, réduite. $\gamma_t$ compris entre 0 et 1.
5. Rayon quelconque à prolonger : construction par foyer secondaire image.
Lentille divergente (colonne de droite), de haut en bas :
1. Objet réel loin de la lentille : image virtuelle, droite, réduite. $0 < \gamma_t < 1$.
2. Objet réel proche de la lentille : image virtuelle, droite, réduite. $\gamma_t$ plus proche de 1 que dans le cas précédent.
3. Objet virtuel entre O et F : image réelle, droite, agrandie. $\gamma_t > 1$.
4. Objet virtuel au-delà de F : image virtuelle, renversée, réduite. $\gamma_t < 0$.
5. Rayon quelconque à prolonger : construction par foyer secondaire image, situé cette fois dans le plan focal image virtuel, avant la lentille.
Deux règles se dégagent, à retenir : une image droite ($\gamma_t > 0$) correspond toujours à un objet et une image de natures différentes (l'un réel, l'autre virtuel), et une seule situation donne une image renversée à partir d'un objet réel, celle de l'objet réel avant le foyer objet d'une lentille convergente.
5Objet « à l'infini »🔗Traite aussi :• Relier le stigmatisme approché aux caractéristiques d’un détecteur.• Définir les propriétés du centre optique, des foyers principaux et secondaires, de la distance focale, de la vergence.• Exploiter les formules de conjugaison et de grandissement transversal de Descartes et de Newton.• Modèle de l'appareil photographique. Profondeur de champ.
Soit un point lumineux placé sur l'axe optique d'une lentille convergente de distance focale $f'$ et de diamètre $L$, à une distance $D$ du centre optique. On note $\ell$ la taille de la tache lumineuse résultante située dans le plan focal image, $h$ la taille minimale que peut résoudre l'appareil utilisé pour observer cette tache, et $\alpha$ le diamètre angulaire de la lentille vu depuis l'objet.
1. Faire un schéma de la situation en représentant toutes les grandeurs du problème. Tracer deux rayons en les faisant passer chacun par un bord de la lentille et les prolonger après celle-ci en utilisant les propriétés des lentilles minces.
2. Par construction des rayons lumineux, écrire une relation entre les grandeurs $D$, $L$, $\ell$ et $f'$.
3. Donner l'inégalité que doit vérifier la distance objet-lentille pour que la tache lumineuse observée soit de taille inférieure à la résolution du détecteur. Commenter l'influence de $h$.
4. Comparer la situation précédente au cas d'un objet situé à une distance « infinie » de la lentille. Commenter.
5. Donner un ordre de grandeur de la taille de la tache de diffraction obtenue dans le plan focal image si l'objet émet une lumière visible, et indiquer en quoi cette valeur, dans le cadre de l'optique géométrique, donne une borne inférieure à la taille que peut résoudre le détecteur avec cette lentille.
6. Faire la synthèse des réponses pour expliquer ce qu'est un objet à l'infini.
7. Expliquer, à partir de la formule de conjugaison de Descartes et de vos connaissances sur les lentilles, en quoi l'image se forme dans le plan focal image.
💡 Indice
L'image A' du point objet ne se forme pas dans le plan focal, mais un peu après : la tache observée dans le plan focal est la section du faisceau convergent à cet endroit. Deux triangles semblables suffisent à la calculer.
✅ Correction
2. La formule de Descartes donne la position de l'image : $\dfrac{1}{\overline{\text{OA}'}} = \dfrac{1}{f'} - \dfrac{1}{D}$, soit $\overline{\text{OA}'} = \dfrac{f'D}{D-f'}$, située après le plan focal image.
Le faisceau émergent est un cône qui s'appuie sur toute la lentille (diamètre $L$) et converge en A'. Dans le plan focal, à la distance $f'$, le théorème de Thalès donne
$$\frac{\ell}{L} = \frac{\overline{\text{OA}'} - f'}{\overline{\text{OA}'}} = 1 - \frac{f'}{\overline{\text{OA}'}}$$
En remplaçant $\overline{\text{OA}'}$ par son expression, $\dfrac{f'}{\overline{\text{OA}'}} = \dfrac{D-f'}{D} = 1 - \dfrac{f'}{D}$, d'où le résultat remarquablement simple
$$\boxed{\ell = \frac{L f'}{D}}$$
On peut le retrouver directement : $\ell = \alpha f'$ avec $\alpha = L/D$ le diamètre angulaire de la lentille vu depuis l'objet.
3. La tache est indiscernable d'un point si $\ell < h$, soit
$$\frac{Lf'}{D} < h \qquad \text{c'est-à-dire} \qquad D > \frac{Lf'}{h}$$
Plus le détecteur est résolvant (plus $h$ est petit), plus la distance à partir de laquelle l'objet peut être considéré comme à l'infini est grande. La notion d'infini n'a donc rien d'absolu : elle dépend de l'instrument d'observation.
4. Pour un objet réellement à l'infini, les rayons incidents sont parallèles et convergent exactement en F' : la tache est réduite à un point. La condition $D > Lf'/h$ exprime que l'objet, sans être à l'infini, se comporte comme s'il y était du point de vue du détecteur : les deux situations sont expérimentalement indiscernables.
5. La tache de diffraction due à la pupille circulaire de diamètre $L$ a un diamètre angulaire de l'ordre de $\lambda/L$, soit une taille dans le plan focal
$$\ell_{\text{diff}} \sim \frac{\lambda f'}{L}$$
Avec $\lambda = 500$ nm, $f' = 100$ mm et $L = 2$ cm, cela donne quelques micromètres. Aucun détecteur associé à cette lentille ne peut donc résoudre mieux que cette taille : $h$ ne peut pas descendre en dessous de $\ell_{\text{diff}}$. En reportant dans la condition précédente, la distance à partir de laquelle l'objet est à l'infini reste bornée :
$$D > \frac{Lf'}{\ell_{\text{diff}}} \sim \frac{L^2}{\lambda}$$
soit quelques centaines de mètres pour les valeurs ci-dessus. C'est l'optique ondulatoire qui met une limite à un raisonnement d'optique géométrique.
6. Un objet est à l'infini lorsque la tache qu'il forme dans le plan focal image est trop petite pour être distinguée d'un point par le détecteur utilisé. Ce n'est pas une propriété de l'objet seul, mais du triplet objet-lentille-détecteur.
7. La formule de Descartes s'écrit $\dfrac{1}{\overline{\text{OA}'}} = \dfrac{1}{f'} + \dfrac{1}{\overline{\text{OA}}}$. Quand $\overline{\text{OA}} \to -\infty$, le terme $1/\overline{\text{OA}}$ tend vers zéro et $\overline{\text{OA}'} \to f'$ : l'image se forme dans le plan focal image. C'est la définition même du foyer image.
6Image de la Lune et du Soleil
La Lune a un diamètre angulaire d'environ $10^{-2}$ rad. Calculer la taille de l'image de la Lune à travers une lentille convergente de distance focale 100 mm. Faire de même pour le Soleil. On pourra utiliser le fait que pour tout $\alpha \ll 1$, $\sin \alpha \simeq \alpha$ et $\tan \alpha \simeq \alpha$.
La Lune ayant un rayon de 1700 km, donner le temps que met sa lumière à nous parvenir. Faire la même chose avec le soleil sachant que son rayon est environ 420 fois plus grand.
💡 Indice
La Lune est un objet à l'infini : son image se forme dans le plan focal image. Le rayon passant par le centre optique n'étant pas dévié, il donne directement la taille de l'image.
✅ Correction
La Lune étant à l'infini, son image se forme dans le plan focal image. Le rayon issu du bord de la Lune et passant par le centre optique n'est pas dévié : il fait donc l'angle $\alpha$ avec l'axe optique de part et d'autre de la lentille. La taille de l'image vaut
$$A'B' = f' \tan \alpha \simeq f' \alpha = 100 \times 10^{-2} = 1 \text{ mm}$$
Le Soleil a sensiblement le même diamètre angulaire que la Lune, environ $9 \times 10^{-3}$ rad — c'est précisément cette coïncidence qui rend possibles les éclipses totales. Son image mesure donc elle aussi environ 1 mm. Une focale de 100 mm est donc très insuffisante pour photographier les cratères lunaires : il faut viser le mètre.
Distance de la Lune : son diamètre angulaire vaut $\alpha = 2R/D$, d'où
$$D = \frac{2R}{\alpha} = \frac{2 \times 1700}{10^{-2}} = 3{,}4 \times 10^5 \text{ km}$$
La lumière met alors $t = D/c = 3{,}4 \times 10^8/3 \times 10^8 \approx 1{,}1$ s pour nous parvenir depuis la Lune.
Pour le Soleil, le même raisonnement exige de connaître son rayon, $R \approx 7 \times 10^5$ km, ce qui donne $D \approx 1{,}4 \times 10^8$ km et un temps de trajet
$$t = \frac{1{,}4 \times 10^{11}}{3 \times 10^8} \approx 470 \text{ s} \approx 8 \text{ min}$$
7Position relative de l'objet et de l'image🔗Traite aussi :• Exploiter les formules de conjugaison et de grandissement transversal de Descartes et de Newton.• Établir et utiliser la condition de formation de l’image réelle d’un objet réel par une lentille convergente.
On note $x = 1/\overline{\text{OA}}$ et $y = 1/\overline{\text{OA}'}$.
1. Tracer l'ensemble des couples (objet, image) possibles dans le plan $(O, x, y)$ pour une lentille convergente puis divergente.
2. Dans quelle partie du plan l'objet et l'image sont-ils réels ou virtuels ?
3. Montrer, à partir de la formule de conjugaison de Descartes, que la distance $D$ entre l'objet et l'image, pour qu'une image se forme à partir d'une lentille convergente, vérifie $D \geqslant 4f'$.
✅ Correction
1. La formule de Descartes s'écrit directement $y - x = 1/f'$, soit
$$y = x + \frac{1}{f'}$$
L'ensemble des couples possibles est donc une droite de pente 1, d'ordonnée à l'origine $1/f'$ : positive pour une lentille convergente, négative pour une divergente. Toute la théorie des lentilles minces tient dans cette unique droite.
2. L'objet est réel si $\overline{\text{OA}} < 0$, donc si $x < 0$, et virtuel si $x > 0$. L'image est réelle si $y > 0$ et virtuelle si $y < 0$. Les quatre quadrants du plan correspondent donc aux quatre combinaisons, et les portions de la droite qui les traversent redonnent exactement les tableaux du cours.
3. Posons $\overline{\text{OA}} = -p$ avec $p > 0$ pour un objet réel, et $\overline{\text{OA}'} = p' > 0$ pour une image réelle. La formule de conjugaison devient
$$\frac{1}{p} + \frac{1}{p'} = \frac{1}{f'}$$
et la distance objet-image vaut $D = p + p'$. En multipliant les deux membres :
$$\frac{D}{f'} = (p + p')\left(\frac{1}{p} + \frac{1}{p'}\right) = 2 + \frac{p}{p'} + \frac{p'}{p} \geqslant 4$$
la dernière inégalité venant de $u + 1/u \geqslant 2$ pour tout $u > 0$, avec égalité si et seulement si $p = p'$. On a donc $D \geqslant 4f'$.
Conséquence pratique très utile en travaux pratiques : avec une lentille de focale 200 mm, il est impossible de former une image réelle si l'écran est à moins de 80 cm de l'objet, quelle que soit la position de la lentille. Et à la distance minimale, l'image est de même taille que l'objet.
