Sciences Physiques · PTSI2 Vaucanson
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Systèmes optiques
# Introduction {-} Caméra, appareil photographique, microscope, œil, télescope, loupe, lunette : nous sommes entourés de systèmes optiques ! :::experience[Image d'un objet en classe] Former l'image d'un objet comme les lumières du plafond à l'aide d'une lentille convergente. :::
# Formation des images par les systèmes optiques ## Construction des objets et des images :::definition[Système optique] Un système optique est une succession de dioptres et de catadioptres (surfaces réfléchissantes). ::: **Conséquence :** un système optique peut dévier un faisceau lumineux. :::convention[Rayons réels et virtuels] Un rayon de lumière est tracé en trait plein s'il est réel, en pointillé s'il est virtuel. Le rayon réel est celui que l'on peut voir : si on place un écran sur le trajet d'un rayon réel, on observe un point sur l'écran. Le rayon virtuel est le prolongement d'un rayon réel. C'est un rayon lumineux fictif qui ne peut pas être vu : si un écran est placé sur son trajet, aucun point lumineux n'y est visible. ::: :::definition[Objets et images, réels et virtuels] On considère un système optique de taille finie. Faire le lien entre les définitions ci-dessous et la <a class="lref" href="#fig-objets-images" title="Aller à la référence">🔗 figure suivante</a>. **Image :** soit un objet ponctuel A émettant de la lumière dans toutes les directions. D'après la première loi de l'optique géométrique, tous les rayons se propagent en ligne droite, sauf lorsqu'ils rencontrent le système optique. Si des rayons se croisent après avoir traversé le système optique, les points d'intersection constituent l'**image réelle** de l'objet, notée A′ par convention. Si ce sont les prolongements des rayons réels qui se croisent après le système optique, on parle d'**image virtuelle**. **Objet :** si des rayons réels proviennent d'un point A situé avant le système optique, ce point est appelé **objet réel**. Si les rayons constituant l'objet se croisent après le système optique — ils sont alors forcément virtuels — l'objet A est **virtuel**. ::: {centre 85%, #fig-objets-images} *De gauche à droite : objet réel, objet virtuel, image virtuelle, image réelle.* :::exercice[Nature d'une image pour le système suivant] On considère deux systèmes optiques successifs. Le premier transforme un objet réel A en image réelle A′. Schématiser la situation. Le deuxième système est placé après l'image A′ et transforme A′ en A″, image réelle de A′ par le deuxième système. Schématiser la situation. À quoi correspond A′ pour le deuxième système optique ? Si ce système optique est placé avant A′, que devient A′ pour celui-ci ? :::
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Construire l'image d'un objet par un miroir plan
Énoncer les conditions de l’approximation de Gauss et ses conséquences.
## Du stigmatisme rigoureux aux conditions de Gauss En réalité, il peut exister plusieurs images d'un objet ponctuel à travers un système, c'est-à-dire plusieurs points de croisement des rayons issus d'un objet ponctuel, d'où les définitions suivantes. :::definition[Stigmatisme rigoureux et approché] Si tous les rayons issus d'un objet ponctuel A ressortent d'un système optique en passant par le point image A′, le système est dit **rigoureusement stigmatique** pour le couple (A, A′), et les points sont dits **conjugués** par le système. On parle de **stigmatisme approché** lorsque l'ensemble des points image A′ de l'objet A forment une tache que la résolution de l'instrument utilisé pour l'observer (œil, caméra, etc.) ne peut pas résoudre. ::: :::propriete[Stigmatisme du miroir plan] Le miroir est un système optique rigoureusement stigmatique pour tout couple de points (A, A′) symétriques par rapport au miroir. ::: :::exercice[Stigmatisme rigoureux du miroir plan] Justifier la propriété précédente par un tracé de rayons : montrer qu'en prenant un couple (A, A′) symétriques par rapport au miroir, A′ est bien l'image de A. ::: :::definition[Axe optique] Si un système optique admet une invariance par révolution autour d'un axe, ce dernier est appelé **axe optique**. S'il admet un axe optique, le système optique est dit **centré**. ::: :::propriete[Conditions de Gauss] Les systèmes optiques centrés sont approximativement stigmatiques et aplanétiques pour tous les couples de points (objet, image) reliés uniquement par des rayons dits **paraxiaux**. Ces rayons vérifient deux critères : 1. un rayon paraxial est peu incliné par rapport à l'axe optique ; 2. un rayon paraxial reste voisin de l'axe optique. ::: :::remarque Ces conditions sont essentiellement d'ordre expérimental. Quelques règles typiques sur les montages : ne pas utiliser d'objets trop gros par rapport aux lentilles, placer l'axe optique de la lentille selon le trajet de la lumière — généralement parallèlement au banc d'optique — et éviter les lentilles de focale trop faible, $|f'| < 100$ mm.[^Les objectifs de microscope sont une exception : ils corrigent beaucoup d'aberrations.] ::: :::definition[Aplanétisme] Si l'image A′ reste dans un plan perpendiculaire à l'axe optique lorsqu'on déplace l'objet A dans un plan perpendiculaire à l'axe optique, et que le système est rigoureusement stigmatique pour le couple (A, A′), le système est dit **rigoureusement aplanétique**. S'il n'est qu'approximativement stigmatique, il est dit **approximativement aplanétique**. :::
## Vocabulaire concernant les lentilles :::definition[Lentille mince, convergente et divergente] Une lentille mince est constituée d'un milieu transparent, linéaire, homogène et isotrope, dont l'épaisseur est suffisamment faible devant les rayons de courbure des dioptres délimitant ce milieu. Les centres des rayons de courbure sont situés sur l'axe optique. On distingue deux types de lentilles : - **lentille convergente :** le centre est plus épais que les bords ; - **lentille divergente :** le bord est plus épais que le centre. ::: {centre 70%} *Symboles d'une lentille mince convergente et d'une lentille mince divergente.* :::convention[Notation d'une conjugaison] L'écriture A $\xrightarrow{S}$ A′ signifie : « l'image de l'objet A par le système optique noté $S$ est en A′ ». ::: :::convention[Orientation de l'axe optique et distance algébrique] L'axe optique est orienté par convention selon la direction de propagation de la lumière. La distance algébrique $\overline{AB}$ entre deux points A et B situés sur l'axe optique est comptée positivement si B est situé après A, négativement sinon. $$\overline{AB} = AB = -\overline{BA} \quad \text{si B est situé après A sur l'axe optique}$$ :::
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Définir les propriétés du centre optique, des foyers principaux et secondaires, de la distance focale, de la vergence.
Construire l’image d’un objet situé à distance finie ou infinie à l’aide de rayons lumineux, identifier sa nature réelle ou virtuelle.
## Caractéristiques des lentilles minces Sauf cas particulier, les propriétés des lentilles minces sont obtenues dans les conditions de Gauss. :::definition[Foyer principal image et foyer principal objet] Le **foyer image** F′ correspond à l'image d'un objet ponctuel réel situé à l'infini sur l'axe optique. Le **foyer objet** F correspond au symétrique de F′ par rapport au centre optique O. ::: {centre 70%, #fig-foyers} *Foyer image d'une lentille convergente (à gauche) et d'une lentille divergente (à droite).* :::exercice[Image d'un objet situé au foyer objet] En utilisant le principe du retour inverse de la lumière et la remarque précédente, que dire de l'image d'un objet situé sur le foyer objet d'une lentille ? ::: :::definition[Plan focal image et objet] Le plan focal image, respectivement objet, est le plan perpendiculaire à l'axe optique passant par le foyer image, respectivement objet. ::: :::definition[Focale] La distance focale image $f'$ d'une lentille vaut $f' = \overline{\text{OF}'}$, longueur algébrique du segment [OF′], l'axe optique étant orienté selon la propagation de la lumière. La distance focale objet vaut $f = \overline{\text{OF}}$. ::: :::exercice[Signe de la distance focale] Quel est le signe de $f'$ pour une lentille convergente, puis pour une lentille divergente ? ::: :::definition[Vergence] La vergence est l'inverse de la distance focale : $V = \dfrac{1}{f'}$. Elle s'exprime en dioptries ($\delta$) dans le système international. ::: :::propriete[Foyers secondaires] Tout point objet réel situé à l'infini B$_\infty$, hors de l'axe optique, possède une image B′ — réelle ou virtuelle — dans le plan focal image. Par principe de retour inverse de la lumière, tout objet réel ou virtuel B situé dans le plan focal objet a une image à l'infini B′$_\infty$. ::: :::propriete[Rayons passant par le centre optique] Tout rayon passant par le centre optique d'une lentille mince ne subit pas de déviation. ::: :::exercice[Construction de l'image d'un objet à l'infini hors de l'axe] Construire l'image d'un objet situé en $-\infty$ et hors de l'axe optique, pour une lentille convergente puis divergente. :::
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Construire l’image d’un objet situé à distance finie ou infinie à l’aide de rayons lumineux, identifier sa nature réelle ou virtuelle.
## Construction d'images et d'objets par des lentilles minces L'intersection de deux rayons forme un point qui aura des coordonnées précises dans l'espace. Ainsi, pour repérer la position d'un objet ou d'une image — sauf lorsqu'ils sont situés à l'infini — il faut systématiquement utiliser au moins deux rayons, réels ou virtuels. :::exercice[Construction d'images] Construire l'image d'un objet réel puis virtuel, par une lentille mince convergente puis divergente. ::: On peut résumer l'exercice précédent par les deux tableaux suivants. **Lentille convergente** | | image réelle | image virtuelle | |---|---|---| | **objet réel** | objet $\in\ ]-\infty, f]$ — image $\in [f',+\infty[$ | objet $\in [f,0]$ — image $\in\ ]-\infty,0]$ | | **objet virtuel** | objet $\in [0,+\infty[$ — image $\in [0,f']$ | • | **Lentille divergente** | | image réelle | image virtuelle | |---|---|---| | **objet réel** | • | objet $\in\ ]-\infty,0]$ — image $\in [f',0]$ | | **objet virtuel** | objet $\in [0,f]$ — image $\in [0,+\infty[$ | objet $\in [f,+\infty[$ — image $\in\ ]-\infty,f']$ |
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Exploiter les formules de conjugaison et de grandissement transversal de Descartes et de Newton.
Établir et utiliser la condition de formation de l’image réelle d’un objet réel par une lentille convergente.
## Relations de conjugaison pour une lentille :::propriete[Formules de conjugaison et de grandissement] Les relations ci-dessous sont obtenues pour une lentille mince dans les conditions de Gauss, de distance focale image $f'$ et de centre O, qui conjugue l'objet A en image A′. **Formule de Descartes :** $$\dfrac{1}{\overline{\text{OA}'}} - \dfrac{1}{\overline{\text{OA}}} = \dfrac{1}{f'}$$ **Formule de Newton :** $$\overline{\text{FA}} \cdot \overline{\text{F}'\text{A}'} = -f'^2$$ **Grandissement transversal :** $$\gamma_t = \dfrac{\overline{\text{OA}'}}{\overline{\text{OA}}} = -\dfrac{\overline{\text{F}'\text{A}'}}{f'} = \dfrac{f'}{\overline{\text{FA}}}$$ ::: :::exercice[Position relative de l'objet et de l'image] 1. En notant $y = 1/\overline{\text{OA}'}$ et $x = 1/\overline{\text{OA}}$, tracer l'ensemble des couples (objet, image) possibles dans le plan $(O,x,y)$ pour une lentille convergente puis divergente. 2. Dans quelle partie du plan l'objet et l'image sont-ils réels, virtuels ? Montrer le lien avec les tableaux de la section précédente. 3. Montrer, à partir de la formule de conjugaison de Descartes, que la distance $D$ entre l'objet et l'image, pour qu'une image se forme à partir d'une lentille convergente, vérifie $D \geqslant 4f'$. :::
# Exemples de systèmes optiques :::definition[Grandissement] Applicable à tout système optique. Le **grandissement transversal** $\gamma_t$ est le rapport entre la taille d'une image $\overline{\text{A}'\text{B}'}$ perpendiculaire à l'axe optique et celle de son objet $\overline{\text{AB}}$. Le **grandissement angulaire**, aussi appelé **grossissement** et noté $\gamma_\alpha$, est le rapport entre l'angle $\alpha'$ que fait un rayon passant par l'image avec l'axe optique et l'angle $\alpha$ que fait un rayon passant par l'objet avec l'axe optique, pour un couple (objet, image) ponctuel. $$\gamma_t = \dfrac{\overline{\text{A}'\text{B}'}}{\overline{\text{AB}}} \qquad \gamma_\alpha = \dfrac{\alpha'}{\alpha}$$ :::
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Modèle de l'oeil
## L'œil L'œil humain se modélise comme une lentille de focale variable — cornée et cristallin — d'extension fixée par un diaphragme, l'iris, et d'un capteur photosensible, la rétine. La limite de résolution angulaire de l'œil est de l'ordre de $3 \times 10^{-4}$ rad.[^On parle aussi de minute d'arc, soit 1/60 de degré.] L'œil emmétrope, c'est-à-dire normal, permet une vision nette de l'infini sans accommoder — le *punctum remotum* — jusqu'à environ 25 cm au maximum d'accommodation — le *punctum proximum*. Un œil myope a un *punctum remotum* et un *punctum proximum* plus proches : il ne voit pas à l'infini. Inversement pour un œil hypermétrope : il ne voit pas de près et doit accommoder pour voir à l'infini. {centre 90%} *Un œil modélisé par une lentille et un plan observe un objet en $-\infty$. De gauche à droite : œil emmétrope, myope et hypermétrope.*
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Modèle de l'appareil photographique. Profondeur de champ.
## L'appareil photographique à capteur CCD L'objectif d'un appareil photographique est équivalent à une lentille mince convergente permettant de former une image sur un capteur CCD (*Charge-Coupled Device*). En réalité, l'objectif est composé de plusieurs lentilles, ce qui permet de faire la mise au point. Un diaphragme permet de réaliser des photos avec une faible profondeur de champ — grande ouverture, premier plan net — ou une grande profondeur de champ — petite ouverture, premier plan et arrière-plan nets. À luminosité égale au niveau du capteur, l'ouverture du diaphragme modifie aussi le temps d'exposition. :::figures[L'image de l'objet A est située sur la surface du capteur, celle de B avant le capteur. Sans diaphragme, l'image de B forme sur le capteur une tache plus grosse qu'un pixel du CCD : elle sera floue alors que celle de A sera nette. Avec le diaphragme, les images de A et B sont aux mêmes endroits, mais la tache formée par B est désormais plus petite que la taille d'un pixel : un seul pixel est éclairé, les deux images sont nettes.] {#fig-ccd} *Sans diaphragme.*  *Avec diaphragme.* ::: L'appareil photographique fera l'objet d'un TP.
🔬 Profondeur de champ APN
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Construire l’image d’un objet situé à distance finie ou infinie à l’aide de rayons lumineux, identifier sa nature réelle ou virtuelle.
## Lunette astronomique La lunette astronomique est, en toute généralité, l'association de deux lentilles : l'objectif et l'oculaire. Il en existe plusieurs types : - la **lunette de Kepler**, composée de deux lentilles convergentes ; - la **lunette de Galilée**, composée d'une lentille convergente et d'une divergente. La lunette astronomique est un **système afocal** : le point focal image F′$_1$ de la première lentille ($L_1$) est confondu avec le point focal objet F$_2$ de la seconde ($L_2$). Pour des objets situés à l'infini — les planètes et les étoiles peuvent être considérées comme telles — cela permet d'obtenir une image elle aussi à l'infini. {centre 75%} *Formation d'une image à l'infini d'un objet à l'infini par une lunette.* Pour déterminer le grossissement de la lunette, on peut faire un tracé pour un objet à l'infini hors de l'axe optique. On constate que pour une lunette de Kepler le grossissement est négatif, et que pour des angles faibles : $$\gamma_\alpha \simeq \dfrac{f_1'}{f_2} = -\dfrac{f_1'}{f_2'}$$ {centre 85%} *Représentation du grossissement d'une lunette. Le rayon en pointillé est un rayon de construction.*
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Établir les expressions du cône d’acceptance et de la dispersion intermodale d’une fibre à saut d’indice.
## Fibre à saut d'indice Une fibre à saut d'indice peut être représentée par un cylindre appelé cœur, entouré d'une gaine, dans lesquels la lumière peut circuler sans atténuation ni dispersion. Les deux milieux sont homogènes et isotropes, mais n'ont pas le même indice optique : celui de la gaine est légèrement plus faible que celui du cœur. {centre 80%, #fig-fibre} *Coupe en longueur d'une fibre à saut d'indice.* :::definition[Ouverture numérique] Soit $i_{\text{lim}}$ la valeur maximale de l'angle d'incidence d'un faisceau lumineux entrant et ressortant d'une fibre à saut d'indice. L'ouverture numérique de la fibre est la valeur $$\text{O.N.} = n_a \sin i_{\text{lim}}$$ où $n_a$ est l'indice du milieu extérieur à la fibre.[^Deux définitions coexistent pour l'ouverture numérique, avec ou sans le facteur $n_a$. Il est sous-entendu que le milieu extérieur est l'air, donc $n_a \simeq 1$, ce qui revient au même.] ::: :::remarque L'ouverture numérique d'une fibre est typiquement comprise entre 0,3 et 0,6. ::: :::definition[Dispersion intermodale] Différence maximale de temps de propagation, par unité de longueur, entre deux faisceaux pouvant se propager dans la fibre. ::: :::remarque Les fibres à gradient d'indice ou monomodes sont des solutions à la dispersion intermodale. ::: :::exercice[Dispersion intermodale d'une fibre à saut d'indice] 1. Montrer que le temps de propagation $T$ pour une longueur $L$ de fibre à saut d'indice, d'indice de cœur $n_c$, et un angle de première réfraction $\theta$ vérifie $T = \dfrac{L n_c}{c \cos \theta}$. 2. En déduire que la dispersion intermodale d'une fibre à saut d'indice vaut $\dfrac{n_c}{c}\left(\dfrac{n_c - n_g}{n_g}\right)$. 3. En supposant $n_c - n_g \ll n_c$, montrer que la dispersion intermodale peut s'écrire en fonction de l'ouverture numérique ou de l'écart relatif $\Delta = \dfrac{n_c - n_g}{n_c}$ donné par le constructeur. 4. En déduire un ordre de grandeur de cette dispersion sur 1000 km avec des fibres usuelles ($n_c \simeq 1{,}4$, O.N. = 0,3). :::
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