Justifier par un tracé de rayons que le miroir plan est rigoureusement stigmatique : montrer qu'en prenant un couple de points (A, A') symétriques par rapport au miroir, A' est bien l'image de A.
2Taille d'un miroir
Quelle taille minimum doit avoir un miroir plan pour qu'un homme de 1,80 m puisse s'y voir entièrement, et où le miroir doit-il se trouver ?
💡 Indice
L'image de l'homme par le miroir plan est son symétrique par rapport au plan du miroir. Tracer les deux rayons extrêmes : celui issu du sommet du crâne et celui issu des pieds, qui parviennent tous deux à l'œil.
✅ Correction
On note $H = 1{,}80$ m la taille de l'homme, $y$ la hauteur de ses yeux et $d$ sa distance au miroir (supposé vertical).
Le miroir plan donne de tout point $P$ une image $P'$ symétrique par rapport au plan du miroir : $P'$ est donc à la même hauteur que $P$, à la distance $d$ derrière le miroir.
Pour voir le sommet du crâne $S$ (hauteur $H$), l'œil doit recevoir le rayon qui semble provenir de $S'$ : le segment reliant l'œil (hauteur $y$) à $S'$ coupe le miroir à la hauteur $\dfrac{H+y}{2}$.
De même, le rayon issu des pieds coupe le miroir à la hauteur $\dfrac{y}{2}$.
La hauteur minimale du miroir est donc
$$\ell = \frac{H+y}{2} - \frac{y}{2} = \frac{H}{2} = 0{,}90 \text{ m}$$
Le miroir doit s'étendre de la hauteur $y/2$ à la hauteur $(H+y)/2$ : avec des yeux à $y = 1{,}70$ m, son bord inférieur est à 0,85 m du sol et son bord supérieur à 1,75 m.
Remarque : le résultat ne dépend pas de la distance $d$. Reculer ne permet ni de se voir « en plus grand », ni de se contenter d'un miroir plus petit.
3Réflecteur à deux miroirs
On réalise un montage comportant deux miroirs plans formant un dièdre d'angle $90^\circ$. On envoie un rayon lumineux sur l'un des miroirs avec un angle d'incidence $i$, tel que le rayon se réfléchisse ensuite sur le deuxième miroir et tel que le plan d'incidence soit perpendiculaire aux deux miroirs.
1. Faire un schéma du système dans le plan d'incidence du rayon lumineux.
2. Calculer l'angle de déviation entre le rayon incident et le rayon émergent.
💡 Indice
Un miroir plan dévie un rayon d'un angle $D = 180^\circ - 2i$, où $i$ est l'angle d'incidence. Chercher ensuite la relation entre les angles d'incidence sur les deux miroirs en utilisant le triangle formé par les deux miroirs et le rayon intermédiaire.
✅ Correction
1. Le rayon arrive sur le miroir $M_1$ avec l'incidence $i$, se réfléchit vers le miroir $M_2$ avec l'incidence $i_2$, puis ressort.
Dans le triangle formé par les deux points d'impact et l'arête du dièdre, la somme des angles vaut $180^\circ$ :
$$90^\circ + (90^\circ - i) + (90^\circ - i_2) = 180^\circ$$
d'où la relation entre les deux incidences :
$$i_2 = 90^\circ - i$$
2. La déviation sur $M_1$ vaut $D_1 = 180^\circ - 2i$, celle sur $M_2$ vaut
$$D_2 = 180^\circ - 2 i_2 = 180^\circ - 2(90^\circ - i) = 2i$$
Les deux rotations s'effectuent dans le même sens, donc les déviations s'ajoutent :
$$D = D_1 + D_2 = 180^\circ - 2i + 2i = 180^\circ$$
$$\boxed{D = 180^\circ \quad \text{quel que soit } i}$$
Le rayon émergent est donc toujours antiparallèle au rayon incident : le dispositif renvoie la lumière exactement d'où elle vient. Généralisé à trois miroirs perpendiculaires (coin de cube), ce principe est utilisé pour les catadioptres des vélos et des panneaux routiers, ainsi que pour les réflecteurs déposés sur la Lune par les missions Apollo, qui permettent de mesurer la distance Terre-Lune au centimètre près.
4Taille d'un diamant🔗Traite aussi :• Lois de Snell-Descartes. Condition de réflexion totale.
1 - Déterminez les angles de culasse acceptables pour une double réflexion totale interne d'un rayon lumineux incident perpendiculaire à la table du diamant taillé (faire défiler les images). On prendra 2,42 comme indice optique du diamant.
2 - L'angle de culasse est généralement de 41,5°, vérifier la compatibilité de cet angle avec votre résultat.
1/22/2
💡 Indice
Le rayon arrive perpendiculairement à la table : il n'est pas dévié en entrant, il descend donc verticalement dans la pierre.
Faites une coupe et tracez la **normale** à une facette de culasse. Si la facette fait l'angle $\alpha$ avec l'horizontale, sa normale fait le même angle $\alpha$ avec la verticale : l'angle d'incidence sur la première facette se lit alors directement.
Après cette réflexion, le rayon a tourné de $2\alpha$. Reportez cet écart sur la seconde facette de culasse, dont la normale est inclinée de $\alpha$ de l'autre côté : une simple chasse aux angles donne la seconde incidence.
Il reste à écrire deux fois la même condition, $i > i_\ell$ avec $\sin i_\ell = \dfrac{1}{n}$.
