Optique géométrique

# Introduction

L'optique est une branche de la physique qui étudie principalement l'ensemble des phénomènes lumineux. La lumière peut être décrite de plusieurs façons et c'est autant de sous-branches de l'optique qui se sont créées :

- **Optique géométrique :** la lumière est traitée comme si elle obéissait à des lois très simples comme « la lumière se propage en ligne droite ». C'est une modélisation du comportement de la lumière, ce n'est pas réellement ce qui se passe. Toutefois, dans certaines conditions, cette technique constitue une excellente approximation pour décrire certains phénomènes physiques, notamment la formation d'image via un système optique.
- **Optique ondulatoire :** la lumière est traitée comme une onde électromagnétique. On peut décrire de cette manière les phénomènes de diffraction et d'interférences et le rayonnement d'un laser par exemple. L'optique géométrique peut se retrouver à partir de l'optique ondulatoire, pas l'inverse. Néanmoins, lorsque les conditions le permettent, il est plus aisé de traiter la formation d'image en utilisant l'optique géométrique.
- **Optique quantique :** description la plus détaillée des phénomènes lumineux. Elle permet de décrire tous les phénomènes lumineux rencontrés à ce jour (effet photoélectrique, spectre du corps noir, intrication entre photons, etc.). Sauf cas particuliers, il est toutefois plus aisé de traiter le caractère ondulatoire ou géométrique de la lumière à partir des deux autres disciplines.[^Il existe aussi une sous-branche de la physique appelée optique atomique : les atomes sont alors considérés comme des ondes pouvant interférer ensemble de la même manière que la lumière.]

Nous allons donc traiter la sous-branche la plus simple pour commencer, constituée par un ensemble de lois. L'optique ondulatoire sera abordée cette année et approfondie en deuxième année. Quant à l'optique quantique, elle ne sera pas abordée en prépa :'(

:::figures[Différentes sources de lumière. La lampe au sodium et le métal chauffé semblent avoir la même couleur mais ont pourtant des caractéristiques spectrales totalement différentes. Les mécanismes responsables de cette couleur ne sont pas les même. ]

![Faisceaux laser de différentes couleurs](https://spectre-cpge.fr/uploads/lecon-images/lec11cad6310482.jpg){centre 34.5%}

*Lasers : sources quasi monochromatiques.*

![image](https://spectre-cpge.fr/uploads/lecon-images/lec6a8c01f455b179.75887120.jpg){26%}

*Lampe au sodium : raies d'émission.*

![Métal chauffé à blanc dans un creuset](https://spectre-cpge.fr/uploads/lecon-images/lec06650c0f7560.jpg){28%}

*Métal chauffé à blanc dans un creuset : spectre continu.*
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🔗 Une frise chronologique concernant l'histoire de la lumière [ici](https://tpe-laser-1eres1.weebly.com/annexe-1.html).

📚 Un livre de vulgarisation passionnant sur la lumière telle qu'elle est décrite aujourd'hui (électrodynamique quantique), écrit par un physicien talentueux : [Richard Feynman, *Lumière et matière : une étrange histoire*, Points Sciences](https://www.librairietempsmodernes.fr/livre/9782020147583-lumiere-et-matiere-une-etrange-histoire-richard-phillips-feynman/).

Distinguer une source lumineuse par son spectre. Relier la longueur d’onde dans le vide et la couleur.

# Types de sources lumineuses et de milieux matériels traversés par la lumière

## Propagation de la lumière dans le vide et dans un milieu matériel

La longueur d'onde $\lambda_0$ d'une source lumineuse visible est située entre 400 nm et environ 800 nm. Cette plage de longueur d'onde n'est qu'une petite partie du spectre électromagnétique comme le montre l'image ci-dessous.

![image](https://spectre-cpge.fr/uploads/lecon-images/lec6a8ed9b6b00443.94714690.png){centre 50%}

La longueur d'onde, comme son nom l'indique, est rattachée classiquement à la notion d'onde : la lumière peut être modélisée comme une onde électromagnétique de célérité dans le vide

$$c = 299\,792\,458~\mathrm{m \cdot s^{-1}}$$

*Onde : comme une onde à la surface de l'eau dans le sillage d'un bateau, une onde de cisaillement lors d'un tremblement de Terre, une onde sonore lors d'un concert. L'onde est rattachée classiquement à la notion de transport d'une perturbation sans transport de matière. Célérité : terme qui remplace celui de « vitesse » lorsqu'il s'agit d'une onde et pas d'un objet matériel.*

**Remarques :**

- Cette valeur est exacte : elle fixe la valeur du mètre et non l'inverse.
- Nous utiliserons la valeur de $3{,}00 \times 10^{8}~\mathrm{m \cdot s^{-1}}$ pour les calculs.

La fréquence notée $\nu$ de l'onde est déterminée dans le vide par $\nu = c / \lambda_0$ ; elle est de l'ordre de $10^{14}$ Hz.[^On remarque le changement de notation de la fréquence, de $f$ en $\nu$. Il est préférable de l'utiliser pour ne pas se tromper avec la focale $f$ vue plus tard, ou une fonction $f$ quelconque.]

:::definition[Indice de réfraction]
L'indice de réfraction noté $n$ d'un milieu est défini comme le rapport de la célérité de l'onde dans le vide $c$ et la célérité de l'onde dans le milieu notée $v$ :

$$n = \dfrac{c}{v}$$
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:::exemple
Comme la célérité $c$ ne peut être dépassée, $n$ est toujours supérieur à 1. Voici différents indices que l'on peut rencontrer :

| Milieu | Vide | Air | Eau | Verre | Diamant |
|---|---|---|---|---|---|
| Indice $n$ | 1 (exact) | 1,0003 | 1,33 | de 1,3 à 1,8 | 2,4 |
:::

:::propriete[Longueur d'onde dans un milieu matériel]
La période spatiale $\lambda$ d'une onde dans un milieu matériel est modifiée par rapport à celle dans le vide $\lambda_0$ d'un facteur $n$, l'indice du milieu :

$$\lambda = \dfrac{\lambda_0}{n}$$
:::

:::definition[Dispersion]
Un milieu est dit dispersif si son indice dépend de la longueur d'onde $\lambda$ de l'onde qui le traverse. On note alors l'indice $n(\lambda)$.
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**Remarque :** le prisme est un outil qui utilise la propriété de dispersion pour séparer des longueurs d'onde différentes (figure ci-dessous).

![Décomposition de la lumière blanche par un prisme](https://spectre-cpge.fr/uploads/lecon-images/lec27cca4020446.jpg){centre 70%}

*Un prisme sépare les longueurs d'onde : c'est la dispersion.*

🎮 **Activité :** testez l'effet d'un prisme sur un rayon lumineux ci-dessous. Remarquez la déviation du rayon en fonction de l'indice du matériau utilisé pour le prisme, et la déviation en fonction de la « couleur » (longueur d'onde).

🔬 Déviation de la lumière par un prisme

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Définir le modèle de l’optique géométrique. Indiquer les limites du modèle de l’optique géométrique.

Distinguer une source lumineuse par son spectre. Relier la longueur d’onde dans le vide et la couleur.

## Relier une source à son spectre

:::definition[Spectre d'une source lumineuse]
Correspond à la décomposition de l'onde en somme d'ondes de fréquences — ou de manière équivalente, de longueurs d'onde — différentes.
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🚀 **Expérience :** trois sources lumineuses, un écran et un prisme (+ réseau).

Un prisme, un réseau ou un interféromètre de Michelson sont des outils permettant d'accéder au spectre d'une onde lumineuse. Ce qui nous concernera en TP cette année, c'est le prisme ; les deux derniers outils seront abordés en deuxième année.

La figure ci-contre permet d'associer une source à son spectre :

![Analyse d'une source par un spectroscope : spectre continu, raies d'émission, raies d'absorption, raie unique du laser](https://spectre-cpge.fr/uploads/lecon-images/lec3dfacbccb87b.jpg){droite 26%, wrap}

- **Les sources continues :** les lampes à incandescence, la lave, le métal chauffé, les étoiles, etc. La lumière blanche est une source remplissant tout le spectre visible (exemple : métal chauffé à blanc, figure du § 1). Un gaz absorbe la lumière qu'il peut émettre : s'il est placé devant une source de lumière blanche, le spectre obtenu aura des bandes sombres.
- **Les sources à longueurs d'onde discrètes :** lampes spectrales à vapeur de sodium (figure du § 1), au mercure, au xénon, etc. On observe des raies d'émission.
- **Les sources monochromatiques :** le laser continu fait office de source « monochromatique ». Un laser continu est caractérisé par un spectre à une seule bande.

**Remarque :** attention, les composantes du spectre d'une source n'ont pas forcément la même intensité, et les bandes sombres dans le cas de l'absorption ne sont pas forcément « noires ».

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🔬 Spectroscopie des éléments.

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Lois de Snell-Descartes. Condition de réflexion totale.

:::definition[Rayon lumineux, dioptre et plan d'incidence]
- Rayon lumineux : ?
- Un **dioptre** est la surface délimitant deux milieux d'indices différents.
- Soit $P$ le point d'intersection entre un rayon lumineux et un dioptre. Le **plan d'incidence** du rayon est le plan passant par $P$ et contenant le rayon et la normale $\vec{n}$ au dioptre en $P$ (voir la figure ci-dessous).
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![Représentation des chemins parcourus par la lumière au passage d'un dioptre](https://spectre-cpge.fr/uploads/lecon-images/lec6a8c1c89591f37.93045878.jpg){droite 30%,wrap}

:::loi[Lois de Snell-Descartes]
Soit un dioptre quelconque entre deux milieux homogènes d'indices respectifs $n_1$ et $n_2$ (voir la figure).

1. **Première loi :** les rayons réfléchi et transmis sont dans le plan d'incidence, de l'autre côté de la normale par rapport au rayon incident.
2. **Deuxième loi :** en notant les angles non orientés $i_1$ celui d'incidence, $i_2$ celui de réfraction et $r$ celui de réflexion :
    - pour la réflexion : $i_1 = r$ ;
    - pour la réfraction : $n_1 \sin(i_1) = n_2 \sin(i_2)$.
:::

Il existe des situations dans lesquelles le rayon réfracté n'existe pas. Dans ce cas, on cherche souvent pour quel angle d'incidence cela se produit : c'est l'objet de la propriété suivante.

:::propriete[Non-existence du rayon réfracté]
Situation qui se rencontre uniquement dans le cas où le milieu du faisceau incident est d'indice $n_1$ plus élevé (plus **réfringent**) que celui du milieu dans lequel il est censé être réfracté, $n_2$. La condition générale pour la non-existence du faisceau réfracté est donnée par :

$$n_1 \sin(i_1) > n_2$$
:::

**Remarque :** le phénomène de « réflexion totale » (autre façon de dire qu'il n'y a pas de réfraction) est donc obtenu pour tout rayon incident rencontrant un dioptre dont l'angle d'incidence vérifie

$$i_1 > i_\mathrm{max} = \arcsin\left(\dfrac{n_2}{n_1}\right)$$

Activité : utiliser l'animation ci-dessous pour vous rendre compte de la déviation. Modifier les indices optiques des deux milieux et l'angle pour voir apparaître le phénomène de réflexion totale.

🔬 Réfraction et réflexion

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📝 Bilan semaine 1

🔴 Ce quiz est fermé pour le moment. Votre professeur l'ouvrira au bon moment.

Lois de Snell-Descartes. Condition de réflexion totale.

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## Limites de l'optique géométrique : phénomènes de diffraction et d'interférences

La lumière ayant le comportement d'une onde, les phénomènes de diffraction et d'interférence sont envisageables.

:::figures[]

![image](https://spectre-cpge.fr/uploads/lecon-images/lec6a8c729e8aae18.74741988.gif){35%}

*Phénomène de diffraction : une fente de taille $a$ diffracte l'onde plane incidente, l'énergie de l'onde sortante est principalement contenue dans un prisme droit de demi angle au sommet $\theta$ vérifiant $\sin(\theta) = \lambda/a$*

![image](https://spectre-cpge.fr/uploads/lecon-images/lec6a8c7301a99508.87643030.gif){35%}

*Phénomène d'interférence et de diffraction. L'enveloppe de diffraction d'une fente simple explique en partie l'intensité lumineuse observée mais n'est pas responsable des fluctuations d'intensité plus rapprochées. Les ondes issues des deux fentes interfèrent et produisent des extrema marqués : les interférences constructives et destructives sont à l'origine des franges observées.*

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### Diffraction

🚀 **Expérience :** cuve à ondes. Diffraction par un obstacle d'une onde plane.

:::propriete[Diffraction]
Considérons une onde lumineuse plane monochromatique de longueur d'onde $\lambda$. Lorsque cette onde passe à travers ou autour d'un objet de taille $a$, elle subit le phénomène de diffraction. La lumière ne suit plus une trajectoire rectiligne mais une gamme de trajectoires principalement situées dans un cône de demi-angle au sommet $\theta$ vérifiant :

$$\sin(\theta) \simeq \dfrac{\lambda}{a}$$
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🚀 **Expérience :** diffraction d'un faisceau laser par un cheveu.

### Interférences

🚀 **Expérience :** cuve à ondes. Interférences entre deux ondes sphériques (destructives et constructives).

🚀 **Expérience :** fentes d'Young.

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## Rayon lumineux

La définition historique d'un rayon lumineux est un faisceau de lumière idéalisé que l'on affine en le faisant passer par une fente, en négligeant les effets de diffraction. Ce rayon est impossible à réaliser en pratique et cette définition peut porter à confusion lorsque des phénomènes de diffraction et d'interférences vont être abordés.

De manière plus générale, il est possible d'associer à la lumière un **plan d'onde**, plan perpendiculaire à la direction de propagation de celle-ci. C'est ce plan d'onde qui va donner un sens à la définition de rayon lumineux.

:::definition[Rayons lumineux]
Les rayons lumineux correspondent aux directions perpendiculaires au plan d'onde.

*Cette définition n'est pas la définition historique du rayon lumineux, mais une propriété découlant de l'équation de l'iconale (ou eikonale) qui permet de passer de l'optique ondulatoire à l'optique géométrique (hors programme).*
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### Hypothèses menant à l'optique géométrique

Les expériences de diffraction et d'interférences ne sont pas des phénomènes pris en compte par l'optique géométrique. Il faut donc que ces phénomènes soient minimisés, d'où l'approximation suivante :

:::propriete[Conditions d'approximation de l'optique géométrique]
1. La longueur d'onde $\lambda$ de la source de lumière utilisée est petite devant la taille typique $\ell$ des objets : $\lambda \ll \ell$.
2. Les angles étudiés sont plus grands que $\lambda / \ell$.
:::

:::remarque[Autres conditions d'approximation de l'optique géométrique]
On pourrait rajouter le fait que les faisceaux de lumière utilisés soient suffisamment intenses pour ne pas observer l'aspect corpusculaire de la lumière (photons), que l'aspect de polarisation de la lumière ne soit pas pris en compte (penser à l'angle de Brewster), que les durées d'acquisition soient suffisamment longues  devant $\lambda/c$ (battements). Ces derniers points sont reliés à l'intensité des faisceaux optiques étudiés, ce dont ne parle pas le modèle de l'optique géométrique, mais qui peuvent avoir un impact sur la présence ou non d'un faisceau lumineux.
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