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📘 Question de cours
Image d'un objet situé au foyer objet
En utilisant le principe du retour inverse de la lumière, que dire de l'image d'un objet situé sur le foyer objet d'une lentille ?
✅ Correction : Le foyer image F' est par définition l'image d'un objet situé à l'infini sur l'axe optique. Par retour inverse de la lumière, un objet placé au foyer objet F a donc son image à l'infini sur l'axe optique.
Le faisceau émergent est un faisceau de rayons parallèles à l'axe. C'est le principe du collimateur, utilisé pour produire un faisceau parallèle à partir d'une source ponctuelle, et celui du projecteur.
Le faisceau émergent est un faisceau de rayons parallèles à l'axe. C'est le principe du collimateur, utilisé pour produire un faisceau parallèle à partir d'une source ponctuelle, et celui du projecteur.
📝 Exercice 1
Stigmatisme approché pour une lentille hémisphérique
Soit une lentille hémisphérique d'indice $n = 1{,}6$ et de rayon $R = 100$ mm.
1. Le rayon incident représenté ci-contre est parallèle à l'axe optique de la lentille. Est-il dévié par le premier dioptre ? Expliquer.
2. Reporter le schéma en ajoutant les angles d'incidence et de réfraction sur le second dioptre rencontré par le rayon.
3. Déterminer la relation liant $\overline{\text{SA}}$ à $h$.
4. Rappeler la distance du punctum proximum et la résolution angulaire d'un œil emmétrope, et en déduire un ordre de grandeur de l'écart minimal que celui-ci peut résoudre à cette distance.
5. Estimer une condition sur $h$ du type $h \in [-h_m, h_m]$ pour que la lentille soit dans les conditions de stigmatisme approché, dans le cas d'une observation à l'œil nu. Justifier l'appellation « lentille mince ».
6. Que devient cette condition pour un écran CCD de taille de pixels de 5 µm ?
7. Comparer les distances HS et SA dans le cadre du stigmatisme approché (œil ou CCD) et en déduire la distance focale de cette lentille.
1. Le rayon incident représenté ci-contre est parallèle à l'axe optique de la lentille. Est-il dévié par le premier dioptre ? Expliquer.
2. Reporter le schéma en ajoutant les angles d'incidence et de réfraction sur le second dioptre rencontré par le rayon.
3. Déterminer la relation liant $\overline{\text{SA}}$ à $h$.
4. Rappeler la distance du punctum proximum et la résolution angulaire d'un œil emmétrope, et en déduire un ordre de grandeur de l'écart minimal que celui-ci peut résoudre à cette distance.
5. Estimer une condition sur $h$ du type $h \in [-h_m, h_m]$ pour que la lentille soit dans les conditions de stigmatisme approché, dans le cas d'une observation à l'œil nu. Justifier l'appellation « lentille mince ».
6. Que devient cette condition pour un écran CCD de taille de pixels de 5 µm ?
7. Comparer les distances HS et SA dans le cadre du stigmatisme approché (œil ou CCD) et en déduire la distance focale de cette lentille.
💡 Indice : Le centre de courbure du dioptre sphérique est le centre O de la face plane : la normale au point d'impact est donc portée par le rayon du cercle. Dans le triangle formé par ce centre, le point d'impact et le point A, la relation des sinus donne directement la position de A.
✅ Correction : 1. Le rayon est parallèle à l'axe optique, donc perpendiculaire à la face plane d'entrée. Il arrive en incidence normale et n'est pas dévié : il traverse la face plane sans changer de direction.
2. Sur le dioptre sphérique de sortie, la normale au point d'impact M est portée par le rayon du cercle, c'est-à-dire par la droite OM où O est le centre de la face plane. En notant $i_1$ l'angle d'incidence interne et $i_2$ l'angle de réfraction dans l'air, le rayon horizontal fait avec OM l'angle $i_1$ tel que
$$\sin i_1 = \frac{h}{R} \qquad \text{et} \qquad n \sin i_1 = \sin i_2 \quad \text{donc} \quad \sin i_2 = \frac{nh}{R}$$
3. Dans le triangle OMA, l'angle en O vaut $i_1$, l'angle en M vaut $180^\circ - i_2$ et donc l'angle en A vaut $i_2 - i_1$. La relation des sinus donne
$$\frac{\overline{\text{OA}}}{\sin(180^\circ - i_2)} = \frac{R}{\sin(i_2 - i_1)} \qquad \text{soit} \qquad \overline{\text{OA}} = R\,\frac{\sin i_2}{\sin(i_2 - i_1)}$$
et comme $\overline{\text{OS}} = R$ :
$$\boxed{\overline{\text{SA}} = R\left(\frac{\sin i_2}{\sin(i_2 - i_1)} - 1\right)} \qquad \text{avec} \quad \sin i_1 = \frac{h}{R}, \quad \sin i_2 = \frac{nh}{R}$$
Le point A dépend de $h$ : le système n'est pas rigoureusement stigmatique. C'est l'aberration de sphéricité.
4. Le punctum proximum d'un œil emmétrope est à 25 cm et sa résolution angulaire vaut environ $3 \times 10^{-4}$ rad, soit une minute d'arc. À 25 cm, l'écart minimal résolu est donc
$$\varepsilon = 0{,}25 \times 3\times 10^{-4} \approx 75\ \text{µm}$$
5. Pour $h$ petit, les angles sont petits : $i_1 \simeq h/R$, $i_2 \simeq nh/R$ et $i_2 - i_1 \simeq (n-1)h/R$, d'où la position paraxiale
$$\overline{\text{OA}}_{\text{par}} = \frac{nR}{n-1} = \frac{1{,}6 \times 100}{0{,}6} \approx 267\ \text{mm} \qquad \overline{\text{SA}}_{\text{par}} \approx 167\ \text{mm}$$
Les rayons marginaux coupent l'axe avant ce point, et forment dans le plan focal paraxial une tache dont le diamètre croît très vite avec $h$ :
$h = 2$ mm : tache de 2 µm ; $h = 5$ mm : 32 µm ; $h = 10$ mm : 260 µm ; $h = 20$ mm : 2,2 mm.
La condition $2|y| < \varepsilon = 75$ µm donne $h_m \approx 6{,}6$ mm, soit
$$h \in [-6{,}6\ \text{mm}\ ;\ 6{,}6\ \text{mm}] \qquad \text{c'est-à-dire} \qquad \frac{h}{R} < 7\ %$$
Seule une étroite calotte centrale du dioptre, de rayon quinze fois plus petit que celui de la sphère, travaille dans les conditions du stigmatisme approché. C'est bien cette zone utile, et non l'épaisseur du verre, que désigne l'appellation « lentille mince ».
6. Pour un capteur de 5 µm de pixel, la même condition donne $h_m \approx 2{,}7$ mm, soit $h/R < 3\ %$. Le capteur étant quinze fois plus résolvant que l'œil, il est bien plus exigeant sur le diaphragme : c'est la raison pour laquelle on ferme le diaphragme d'un objectif photographique pour gagner en netteté.
7. La flèche HS vaut $R - \sqrt{R^2 - h^2} \simeq \dfrac{h^2}{2R}$, soit 0,22 mm pour $h = 6{,}6$ mm, à comparer à $\overline{\text{SA}} \approx 167$ mm. Elle est mille fois plus petite : dans les conditions du stigmatisme approché, il est légitime de confondre H, S et le centre optique O de la lentille équivalente. La distance focale image de la lentille hémisphérique est donc
$$f' = \overline{\text{SA}}_{\text{par}} = \frac{nR}{n-1} - R = \frac{R}{n-1} \approx 167\ \text{mm}$$
2. Sur le dioptre sphérique de sortie, la normale au point d'impact M est portée par le rayon du cercle, c'est-à-dire par la droite OM où O est le centre de la face plane. En notant $i_1$ l'angle d'incidence interne et $i_2$ l'angle de réfraction dans l'air, le rayon horizontal fait avec OM l'angle $i_1$ tel que
$$\sin i_1 = \frac{h}{R} \qquad \text{et} \qquad n \sin i_1 = \sin i_2 \quad \text{donc} \quad \sin i_2 = \frac{nh}{R}$$
3. Dans le triangle OMA, l'angle en O vaut $i_1$, l'angle en M vaut $180^\circ - i_2$ et donc l'angle en A vaut $i_2 - i_1$. La relation des sinus donne
$$\frac{\overline{\text{OA}}}{\sin(180^\circ - i_2)} = \frac{R}{\sin(i_2 - i_1)} \qquad \text{soit} \qquad \overline{\text{OA}} = R\,\frac{\sin i_2}{\sin(i_2 - i_1)}$$
et comme $\overline{\text{OS}} = R$ :
$$\boxed{\overline{\text{SA}} = R\left(\frac{\sin i_2}{\sin(i_2 - i_1)} - 1\right)} \qquad \text{avec} \quad \sin i_1 = \frac{h}{R}, \quad \sin i_2 = \frac{nh}{R}$$
Le point A dépend de $h$ : le système n'est pas rigoureusement stigmatique. C'est l'aberration de sphéricité.
4. Le punctum proximum d'un œil emmétrope est à 25 cm et sa résolution angulaire vaut environ $3 \times 10^{-4}$ rad, soit une minute d'arc. À 25 cm, l'écart minimal résolu est donc
$$\varepsilon = 0{,}25 \times 3\times 10^{-4} \approx 75\ \text{µm}$$
5. Pour $h$ petit, les angles sont petits : $i_1 \simeq h/R$, $i_2 \simeq nh/R$ et $i_2 - i_1 \simeq (n-1)h/R$, d'où la position paraxiale
$$\overline{\text{OA}}_{\text{par}} = \frac{nR}{n-1} = \frac{1{,}6 \times 100}{0{,}6} \approx 267\ \text{mm} \qquad \overline{\text{SA}}_{\text{par}} \approx 167\ \text{mm}$$
Les rayons marginaux coupent l'axe avant ce point, et forment dans le plan focal paraxial une tache dont le diamètre croît très vite avec $h$ :
$h = 2$ mm : tache de 2 µm ; $h = 5$ mm : 32 µm ; $h = 10$ mm : 260 µm ; $h = 20$ mm : 2,2 mm.
La condition $2|y| < \varepsilon = 75$ µm donne $h_m \approx 6{,}6$ mm, soit
$$h \in [-6{,}6\ \text{mm}\ ;\ 6{,}6\ \text{mm}] \qquad \text{c'est-à-dire} \qquad \frac{h}{R} < 7\ %$$
Seule une étroite calotte centrale du dioptre, de rayon quinze fois plus petit que celui de la sphère, travaille dans les conditions du stigmatisme approché. C'est bien cette zone utile, et non l'épaisseur du verre, que désigne l'appellation « lentille mince ».
6. Pour un capteur de 5 µm de pixel, la même condition donne $h_m \approx 2{,}7$ mm, soit $h/R < 3\ %$. Le capteur étant quinze fois plus résolvant que l'œil, il est bien plus exigeant sur le diaphragme : c'est la raison pour laquelle on ferme le diaphragme d'un objectif photographique pour gagner en netteté.
7. La flèche HS vaut $R - \sqrt{R^2 - h^2} \simeq \dfrac{h^2}{2R}$, soit 0,22 mm pour $h = 6{,}6$ mm, à comparer à $\overline{\text{SA}} \approx 167$ mm. Elle est mille fois plus petite : dans les conditions du stigmatisme approché, il est légitime de confondre H, S et le centre optique O de la lentille équivalente. La distance focale image de la lentille hémisphérique est donc
$$f' = \overline{\text{SA}}_{\text{par}} = \frac{nR}{n-1} - R = \frac{R}{n-1} \approx 167\ \text{mm}$$
📝 Exercice 2
Validité de l'approximation des régimes quasi stationnaires
Un signal électrique se propage le long des conducteurs à une vitesse de l'ordre de $c = 3{,}0 \times 10^8\ \mathrm{m \cdot s^{-1}}$.
1. Un circuit de taille caractéristique $L$ est alimenté par une source de fréquence $f$. Exprimer la durée $\tau$ nécessaire à un signal pour parcourir le circuit, et la comparer à la période $T$ du signal. En déduire la condition d'application de l'approximation des régimes quasi stationnaires (ARQS), en fonction de $L$ et $f$ puis en fonction de la longueur d'onde $\lambda$.
2. Discuter la validité de l'ARQS dans chacune des situations suivantes :
a) un circuit de TP de 1 m alimenté en 50 Hz ;
b) le même circuit alimenté par un générateur basses fréquences réglé sur 1 MHz ;
c) une ligne à haute tension de 800 km, alimentée en 50 Hz ;
d) les pistes de 10 cm d'une carte mère d'ordinateur, cadencée à 3 GHz.
1. Un circuit de taille caractéristique $L$ est alimenté par une source de fréquence $f$. Exprimer la durée $\tau$ nécessaire à un signal pour parcourir le circuit, et la comparer à la période $T$ du signal. En déduire la condition d'application de l'approximation des régimes quasi stationnaires (ARQS), en fonction de $L$ et $f$ puis en fonction de la longueur d'onde $\lambda$.
2. Discuter la validité de l'ARQS dans chacune des situations suivantes :
a) un circuit de TP de 1 m alimenté en 50 Hz ;
b) le même circuit alimenté par un générateur basses fréquences réglé sur 1 MHz ;
c) une ligne à haute tension de 800 km, alimentée en 50 Hz ;
d) les pistes de 10 cm d'une carte mère d'ordinateur, cadencée à 3 GHz.
💡 Indice : L'ARQS consiste à négliger les effets de propagation : le signal doit avoir parcouru tout le circuit avant d'avoir notablement varié. Il faut donc comparer la durée de propagation à la durée caractéristique de variation du signal, sa période.
✅ Correction : 1. La durée de propagation vaut $\tau = \dfrac{L}{c}$. L'ARQS consiste à négliger cette durée devant la durée caractéristique de variation du signal : à un instant donné, l'intensité est alors la même en tout point d'une branche. La condition s'écrit
$$\tau \ll T \qquad \text{soit} \qquad L \ll \frac{c}{f} = \lambda$$
Le circuit doit être petit devant la longueur d'onde du signal. C'est le produit $Lf$ qui compte, et non la taille ou la fréquence séparément.
2. Le rapport $L/\lambda$ donne directement la réponse, et le déphasage entre les deux extrémités du circuit vaut $360^\circ \times L/\lambda$.
a) $\lambda = 6 \times 10^{6}$ m, soit 6000 km, et $L/\lambda \approx 2 \times 10^{-7}$ : l'ARQS est très largement valable.
b) $\lambda = 300$ m et $L/\lambda \approx 3 \times 10^{-3}$, soit un déphasage d'environ un degré : l'ARQS reste valable, ce qui justifie son emploi dans tous les montages de TP.
c) $\lambda = 6000$ km et $L/\lambda \approx 0{,}13$ : le déphasage entre les extrémités atteint 50 degrés, l'ARQS n'est pas valable. Les réseaux électriques continentaux doivent être modélisés comme des lignes de propagation.
d) $\lambda = 10$ cm, égale à la longueur des pistes : l'ARQS est totalement inapplicable. La conception des cartes électroniques rapides traite chaque piste comme une ligne de transmission, dont on contrôle l'impédance.
$$\tau \ll T \qquad \text{soit} \qquad L \ll \frac{c}{f} = \lambda$$
Le circuit doit être petit devant la longueur d'onde du signal. C'est le produit $Lf$ qui compte, et non la taille ou la fréquence séparément.
2. Le rapport $L/\lambda$ donne directement la réponse, et le déphasage entre les deux extrémités du circuit vaut $360^\circ \times L/\lambda$.
a) $\lambda = 6 \times 10^{6}$ m, soit 6000 km, et $L/\lambda \approx 2 \times 10^{-7}$ : l'ARQS est très largement valable.
b) $\lambda = 300$ m et $L/\lambda \approx 3 \times 10^{-3}$, soit un déphasage d'environ un degré : l'ARQS reste valable, ce qui justifie son emploi dans tous les montages de TP.
c) $\lambda = 6000$ km et $L/\lambda \approx 0{,}13$ : le déphasage entre les extrémités atteint 50 degrés, l'ARQS n'est pas valable. Les réseaux électriques continentaux doivent être modélisés comme des lignes de propagation.
d) $\lambda = 10$ cm, égale à la longueur des pistes : l'ARQS est totalement inapplicable. La conception des cartes électroniques rapides traite chaque piste comme une ligne de transmission, dont on contrôle l'impédance.
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