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Loi des nœuds et conservation de la charge
On considère un nœud d'un circuit auquel aboutissent $k$ branches, parcourues par les intensités $i_1, i_2, \dots, i_k$, toutes orientées vers le nœud.
1. Exprimer la charge $\delta q$ reçue par le nœud pendant une durée $\mathrm{d}t$.
2. En utilisant la conservation de la charge et en supposant qu'aucune charge ne s'accumule au nœud, établir la loi des nœuds.
3. Quelle hypothèse du cours justifie qu'aucune charge ne s'accumule au nœud ?
4. Comment écrire la loi des nœuds lorsque certaines intensités sont orientées en sortant du nœud ?
1. Exprimer la charge $\delta q$ reçue par le nœud pendant une durée $\mathrm{d}t$.
2. En utilisant la conservation de la charge et en supposant qu'aucune charge ne s'accumule au nœud, établir la loi des nœuds.
3. Quelle hypothèse du cours justifie qu'aucune charge ne s'accumule au nœud ?
4. Comment écrire la loi des nœuds lorsque certaines intensités sont orientées en sortant du nœud ?
✅ Correction
1. Chaque branche apporte au nœud la charge $i_j\,\mathrm{d}t$ pendant $\mathrm{d}t$, donc
$$\delta q = \left(\sum_{j=1}^{k} i_j\right)\mathrm{d}t$$
2. La charge électrique est conservée : elle ne peut être ni créée ni détruite, et la charge portée par le nœud ne varie que par les échanges avec les branches. Si elle reste constante, sa variation pendant $\mathrm{d}t$ est nulle, donc $\delta q = 0$ quel que soit $\mathrm{d}t$, et
$$\sum_{j=1}^{k} i_j = 0$$
3. C'est l'ARQS. Le nœud étant de taille négligeable devant la longueur d'onde, les intensités s'ajustent instantanément dans toutes les branches et aucune charge n'a le temps de s'y accumuler. Hors de ce cadre, par exemple le long d'une antenne, l'intensité n'est plus la même en tout point d'un conducteur et la loi des nœuds sous cette forme ne s'applique plus : il faut revenir à la conservation locale de la charge, étudiée en deuxième année.
4. Il suffit de compter chaque intensité avec un signe : positivement si elle est orientée vers le nœud, négativement sinon. La loi prend alors la forme usuelle
$$\sum i_{\text{entrantes}} = \sum i_{\text{sortantes}}$$
$$\delta q = \left(\sum_{j=1}^{k} i_j\right)\mathrm{d}t$$
2. La charge électrique est conservée : elle ne peut être ni créée ni détruite, et la charge portée par le nœud ne varie que par les échanges avec les branches. Si elle reste constante, sa variation pendant $\mathrm{d}t$ est nulle, donc $\delta q = 0$ quel que soit $\mathrm{d}t$, et
$$\sum_{j=1}^{k} i_j = 0$$
3. C'est l'ARQS. Le nœud étant de taille négligeable devant la longueur d'onde, les intensités s'ajustent instantanément dans toutes les branches et aucune charge n'a le temps de s'y accumuler. Hors de ce cadre, par exemple le long d'une antenne, l'intensité n'est plus la même en tout point d'un conducteur et la loi des nœuds sous cette forme ne s'applique plus : il faut revenir à la conservation locale de la charge, étudiée en deuxième année.
4. Il suffit de compter chaque intensité avec un signe : positivement si elle est orientée vers le nœud, négativement sinon. La loi prend alors la forme usuelle
$$\sum i_{\text{entrantes}} = \sum i_{\text{sortantes}}$$