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Validité de l'approximation des régimes quasi stationnaires
Un signal électrique se propage le long des conducteurs à une vitesse de l'ordre de $c = 3{,}0 \times 10^8\ \mathrm{m \cdot s^{-1}}$.
1. Un circuit de taille caractéristique $L$ est alimenté par une source de fréquence $f$. Exprimer la durée $\tau$ nécessaire à un signal pour parcourir le circuit, et la comparer à la période $T$ du signal. En déduire la condition d'application de l'approximation des régimes quasi stationnaires (ARQS), en fonction de $L$ et $f$ puis en fonction de la longueur d'onde $\lambda$.
2. Discuter la validité de l'ARQS dans chacune des situations suivantes :
a) un circuit de TP de 1 m alimenté en 50 Hz ;
b) le même circuit alimenté par un générateur basses fréquences réglé sur 1 MHz ;
c) une ligne à haute tension de 800 km, alimentée en 50 Hz ;
d) les pistes de 10 cm d'une carte mère d'ordinateur, cadencée à 3 GHz.
1. Un circuit de taille caractéristique $L$ est alimenté par une source de fréquence $f$. Exprimer la durée $\tau$ nécessaire à un signal pour parcourir le circuit, et la comparer à la période $T$ du signal. En déduire la condition d'application de l'approximation des régimes quasi stationnaires (ARQS), en fonction de $L$ et $f$ puis en fonction de la longueur d'onde $\lambda$.
2. Discuter la validité de l'ARQS dans chacune des situations suivantes :
a) un circuit de TP de 1 m alimenté en 50 Hz ;
b) le même circuit alimenté par un générateur basses fréquences réglé sur 1 MHz ;
c) une ligne à haute tension de 800 km, alimentée en 50 Hz ;
d) les pistes de 10 cm d'une carte mère d'ordinateur, cadencée à 3 GHz.
💡 Indice
L'ARQS consiste à négliger les effets de propagation : le signal doit avoir parcouru tout le circuit avant d'avoir notablement varié. Il faut donc comparer la durée de propagation à la durée caractéristique de variation du signal, sa période.
✅ Correction
1. La durée de propagation vaut $\tau = \dfrac{L}{c}$. L'ARQS consiste à négliger cette durée devant la durée caractéristique de variation du signal : à un instant donné, l'intensité est alors la même en tout point d'une branche. La condition s'écrit
$$\tau \ll T \qquad \text{soit} \qquad L \ll \frac{c}{f} = \lambda$$
Le circuit doit être petit devant la longueur d'onde du signal. C'est le produit $Lf$ qui compte, et non la taille ou la fréquence séparément.
2. Le rapport $L/\lambda$ donne directement la réponse, et le déphasage entre les deux extrémités du circuit vaut $360^\circ \times L/\lambda$.
a) $\lambda = 6 \times 10^{6}$ m, soit 6000 km, et $L/\lambda \approx 2 \times 10^{-7}$ : l'ARQS est très largement valable.
b) $\lambda = 300$ m et $L/\lambda \approx 3 \times 10^{-3}$, soit un déphasage d'environ un degré : l'ARQS reste valable, ce qui justifie son emploi dans tous les montages de TP.
c) $\lambda = 6000$ km et $L/\lambda \approx 0{,}13$ : le déphasage entre les extrémités atteint 50 degrés, l'ARQS n'est pas valable. Les réseaux électriques continentaux doivent être modélisés comme des lignes de propagation.
d) $\lambda = 10$ cm, égale à la longueur des pistes : l'ARQS est totalement inapplicable. La conception des cartes électroniques rapides traite chaque piste comme une ligne de transmission, dont on contrôle l'impédance.
$$\tau \ll T \qquad \text{soit} \qquad L \ll \frac{c}{f} = \lambda$$
Le circuit doit être petit devant la longueur d'onde du signal. C'est le produit $Lf$ qui compte, et non la taille ou la fréquence séparément.
2. Le rapport $L/\lambda$ donne directement la réponse, et le déphasage entre les deux extrémités du circuit vaut $360^\circ \times L/\lambda$.
a) $\lambda = 6 \times 10^{6}$ m, soit 6000 km, et $L/\lambda \approx 2 \times 10^{-7}$ : l'ARQS est très largement valable.
b) $\lambda = 300$ m et $L/\lambda \approx 3 \times 10^{-3}$, soit un déphasage d'environ un degré : l'ARQS reste valable, ce qui justifie son emploi dans tous les montages de TP.
c) $\lambda = 6000$ km et $L/\lambda \approx 0{,}13$ : le déphasage entre les extrémités atteint 50 degrés, l'ARQS n'est pas valable. Les réseaux électriques continentaux doivent être modélisés comme des lignes de propagation.
d) $\lambda = 10$ cm, égale à la longueur des pistes : l'ARQS est totalement inapplicable. La conception des cartes électroniques rapides traite chaque piste comme une ligne de transmission, dont on contrôle l'impédance.