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Électrons dans un fil de cuivre
Un fil de cuivre de section $S = 1{,}0\ \text{mm}^2$ est parcouru par un courant d'intensité constante $I = 1{,}0$ A. Le cuivre possède $n = 8{,}5 \times 10^{28}$ électrons de conduction par mètre cube. On donne la charge élémentaire $e = 1{,}6 \times 10^{-19}$ C.
1. Rappeler la définition de l'intensité du courant électrique en termes de débit de charge.
2. Calculer le nombre d'électrons traversant une section du fil en une seconde, puis en une nanoseconde.
3. La charge électrique est quantifiée. Justifier qu'il est néanmoins légitime de décrire le courant par une grandeur continue $I(t)$.
4. Les électrons se déplacent en moyenne à la vitesse $v$ le long du fil. En dénombrant les électrons contenus dans un cylindre de section $S$ et de longueur $v\,\mathrm{d}t$, montrer que $I = nevS$, puis calculer $v$.
5. Une lampe est située à 10 m de son interrupteur. Combien de temps un électron mettrait-il à parcourir cette distance ? Pourquoi la lampe s'allume-t-elle pourtant instantanément ?
1. Rappeler la définition de l'intensité du courant électrique en termes de débit de charge.
2. Calculer le nombre d'électrons traversant une section du fil en une seconde, puis en une nanoseconde.
3. La charge électrique est quantifiée. Justifier qu'il est néanmoins légitime de décrire le courant par une grandeur continue $I(t)$.
4. Les électrons se déplacent en moyenne à la vitesse $v$ le long du fil. En dénombrant les électrons contenus dans un cylindre de section $S$ et de longueur $v\,\mathrm{d}t$, montrer que $I = nevS$, puis calculer $v$.
5. Une lampe est située à 10 m de son interrupteur. Combien de temps un électron mettrait-il à parcourir cette distance ? Pourquoi la lampe s'allume-t-elle pourtant instantanément ?
💡 Indice
Pour la question 4, les électrons qui franchissent la section pendant $\mathrm{d}t$ sont exactement ceux qui s'en trouvaient à moins de $v\,\mathrm{d}t$ en amont : il suffit de compter ceux que contient ce cylindre.
Pour la question 5, se demander si ce sont les électrons partis de l'interrupteur qui doivent atteindre la lampe pour qu'elle s'allume.
Pour la question 5, se demander si ce sont les électrons partis de l'interrupteur qui doivent atteindre la lampe pour qu'elle s'allume.
✅ Correction
1. L'intensité est le débit de charge à travers une section du conducteur, c'est-à-dire la charge qui la traverse par unité de temps :
$$I = \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} \qquad [I] = \mathrm{A} = \mathrm{C \cdot s^{-1}}$$
2. Chaque électron porte la charge $e$ en valeur absolue, donc le nombre d'électrons traversant une section par seconde vaut
$$N = \frac{I}{e} = \frac{1{,}0}{1{,}6 \times 10^{-19}} = 6{,}2 \times 10^{18} \text{ électrons par seconde}$$
soit encore $6{,}2 \times 10^{9}$ électrons en une nanoseconde.
3. Même sur une durée aussi brève qu'une nanoseconde, des milliards d'électrons traversent la section. Un électron de plus ou de moins modifie la charge transportée d'une fraction relative de l'ordre de $10^{-10}$, et les fluctuations statistiques, qui varient en $1/\sqrt{N}$, restent de l'ordre de $10^{-5}$. Aucun instrument de mesure usuel ne résout cette granularité : la charge transportée peut être traitée comme une grandeur continue, et l'intensité comme une fonction continue du temps.
La quantification ne redevient perceptible que pour des courants extraordinairement faibles, de quelques électrons par seconde, comme dans certains détecteurs ou en électronique à un électron.
4. Pendant $\mathrm{d}t$, les électrons qui franchissent la section sont ceux qui s'en trouvaient à une distance inférieure à $v\,\mathrm{d}t$ en amont. Ils occupent un cylindre de volume $Sv\,\mathrm{d}t$, et leur nombre vaut $nSv\,\mathrm{d}t$. La charge transportée est donc $\mathrm{d}q = neSv\,\mathrm{d}t$, d'où
$$I = \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} = nevS \qquad \text{soit} \qquad v = \frac{I}{neS} = \frac{1{,}0}{8{,}5 \times 10^{28} \times 1{,}6 \times 10^{-19} \times 1{,}0 \times 10^{-6}} = 7{,}3 \times 10^{-5}\ \mathrm{m \cdot s^{-1}}$$
Les électrons avancent à moins d'un dixième de millimètre par seconde, soit environ 26 cm par heure. Leur charge étant négative, ils se déplacent en sens inverse du sens conventionnel du courant.
5. À cette vitesse, un électron mettrait $10/(7{,}3 \times 10^{-5}) \approx 1{,}4 \times 10^{5}$ s pour parcourir 10 m, soit plus d'une journée et demie.
La lampe s'allume pourtant instantanément, parce que ce ne sont pas les électrons partis de l'interrupteur qui doivent l'atteindre. Le fil est rempli d'électrons de conduction sur toute sa longueur : c'est la mise en mouvement, transmise par le champ électrique à une vitesse proche de celle de la lumière, qui se propage. Tous les électrons du circuit se mettent en mouvement pratiquement en même temps, comme l'eau d'un tuyau déjà plein sort immédiatement quand on ouvre le robinet.
$$I = \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} \qquad [I] = \mathrm{A} = \mathrm{C \cdot s^{-1}}$$
2. Chaque électron porte la charge $e$ en valeur absolue, donc le nombre d'électrons traversant une section par seconde vaut
$$N = \frac{I}{e} = \frac{1{,}0}{1{,}6 \times 10^{-19}} = 6{,}2 \times 10^{18} \text{ électrons par seconde}$$
soit encore $6{,}2 \times 10^{9}$ électrons en une nanoseconde.
3. Même sur une durée aussi brève qu'une nanoseconde, des milliards d'électrons traversent la section. Un électron de plus ou de moins modifie la charge transportée d'une fraction relative de l'ordre de $10^{-10}$, et les fluctuations statistiques, qui varient en $1/\sqrt{N}$, restent de l'ordre de $10^{-5}$. Aucun instrument de mesure usuel ne résout cette granularité : la charge transportée peut être traitée comme une grandeur continue, et l'intensité comme une fonction continue du temps.
La quantification ne redevient perceptible que pour des courants extraordinairement faibles, de quelques électrons par seconde, comme dans certains détecteurs ou en électronique à un électron.
4. Pendant $\mathrm{d}t$, les électrons qui franchissent la section sont ceux qui s'en trouvaient à une distance inférieure à $v\,\mathrm{d}t$ en amont. Ils occupent un cylindre de volume $Sv\,\mathrm{d}t$, et leur nombre vaut $nSv\,\mathrm{d}t$. La charge transportée est donc $\mathrm{d}q = neSv\,\mathrm{d}t$, d'où
$$I = \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} = nevS \qquad \text{soit} \qquad v = \frac{I}{neS} = \frac{1{,}0}{8{,}5 \times 10^{28} \times 1{,}6 \times 10^{-19} \times 1{,}0 \times 10^{-6}} = 7{,}3 \times 10^{-5}\ \mathrm{m \cdot s^{-1}}$$
Les électrons avancent à moins d'un dixième de millimètre par seconde, soit environ 26 cm par heure. Leur charge étant négative, ils se déplacent en sens inverse du sens conventionnel du courant.
5. À cette vitesse, un électron mettrait $10/(7{,}3 \times 10^{-5}) \approx 1{,}4 \times 10^{5}$ s pour parcourir 10 m, soit plus d'une journée et demie.
La lampe s'allume pourtant instantanément, parce que ce ne sont pas les électrons partis de l'interrupteur qui doivent l'atteindre. Le fil est rempli d'électrons de conduction sur toute sa longueur : c'est la mise en mouvement, transmise par le champ électrique à une vitesse proche de celle de la lumière, qui se propage. Tous les électrons du circuit se mettent en mouvement pratiquement en même temps, comme l'eau d'un tuyau déjà plein sort immédiatement quand on ouvre le robinet.