Association de deux résistances, résistance équivalente et pont diviseur.

Deux résistances en série sont parcourues par la même intensité : c'est la loi des nœuds qui le garantit, en l'absence de dérivation entre elles. Deux résistances en parallèle sont soumises à la même tension : c'est la loi des mailles.

1. Diviseur de tension. Deux résistances $R_1$ et $R_2$ sont en série, soumises à la tension totale $U$. En l'absence de dérivation entre elles, la loi des nœuds impose la même intensité $i$ dans les deux, et la loi des mailles donne $U = R_1 i + R_2 i$. La tension aux bornes de $R_2$ vaut alors
$$U_2 = R_2 i = \frac{R_2}{R_1 + R_2}\,U$$

Diviseur de courant. Deux résistances sont en parallèle, parcourues au total par l'intensité $I$. La loi des mailles impose la même tension $U$ à leurs bornes, et la loi des nœuds donne $I = \dfrac{U}{R_1} + \dfrac{U}{R_2}$. L'intensité dans $R_2$ vaut alors
$$I_2 = \frac{U}{R_2} = \frac{R_1}{R_1 + R_2}\,I$$

On remarquera que c'est la résistance de l'autre branche qui figure au numérateur : le courant passe préférentiellement par la branche la moins résistante.

2. En série, le calcul précédent donne $U = (R_1 + R_2)\,i$ : l'ensemble se comporte comme une résistance unique $R_{\text{éq}} = R_1 + R_2$.

En parallèle, $I = U\left(\dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}\right)$ : l'ensemble se comporte comme une résistance unique vérifiant
$$\frac{1}{R_{\text{éq}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \qquad \text{soit} \qquad R_{\text{éq}} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$$

3. Les deux familles de lois découlent des mêmes lois de Kirchhoff, mais répondent à deux besoins opposés.

Les lois d'association servent à simplifier un circuit en remplaçant un groupe de dipôles par un seul : elles permettent de calculer une grandeur extérieure au groupe, mais font perdre l'information sur ce qui se passe à l'intérieur.

Les lois des diviseurs servent au contraire à calculer une grandeur intérieure au groupe — la tension aux bornes d'une des résistances, l'intensité dans une des branches — connaissant la grandeur totale.

Leur domaine de validité mérite attention : le diviseur de tension suppose que les deux résistances sont parcourues par la même intensité. Il cesse de s'appliquer dès qu'un dipôle est branché sur la sortie, qui prélève du courant entre les deux résistances : c'est la question de la charge d'un pont diviseur, qui revient dans l'étude des quadripôles.

Sortie ouverte, aucun courant ne traverse la résistance reliée à E : on reconnaît alors un pont diviseur de tension, et la résistance d'entrée se lit directement.

Pour la résistance de sortie, calculer l'intensité de court-circuit $I_{cc}$ lorsque E est relié à F, puis utiliser $R_s = E/I_{cc}$.

Résistance d'entrée. Sortie ouverte, la résistance reliée à E n'est parcourue par aucun courant. Vu de l'entrée, le circuit se réduit aux deux résistances $R$ entre A et C, puis entre C et la ligne inférieure, qui sont en série :
$$R_e = 2R$$

Tension du générateur équivalent. Toujours sortie ouverte, la tension de sortie est celle qui règne entre C et la ligne inférieure, aucune chute de tension n'ayant lieu dans la résistance reliée à E. Les deux résistances $R$ forment un pont diviseur :
$$E = \frac{R}{R + R}\,U_{AB} = \frac{U_{AB}}{2}$$

Résistance de sortie. En court-circuitant la sortie, la résistance reliée à E se retrouve en parallèle avec la résistance entre C et la ligne inférieure : l'association vaut $R/2$, en série avec la résistance d'entrée $R$. Le diviseur de tension donne
$$V_C = \frac{R/2}{R + R/2}\,U_{AB} = \frac{U_{AB}}{3} \qquad \text{puis} \qquad I_{cc} = \frac{V_C}{R} = \frac{U_{AB}}{3R}$$

d'où la résistance de sortie
$$R_s = \frac{E}{I_{cc}} = \frac{U_{AB}/2}{U_{AB}/(3R)} = \frac{3R}{2}$$

Ce résultat se retrouve directement en éteignant la source d'entrée, c'est-à-dire en remplaçant $U_{AB}$ par un fil : vu de la sortie, on trouve alors $R$ en série avec l'association parallèle de deux résistances $R$, soit $R + R/2 = 3R/2$.

Le quadripôle se modélise donc par une résistance d'entrée $2R$ et un générateur de Thévenin de force électromotrice $U_{AB}/2$ et de résistance interne $3R/2$. On remarquera que la résistance de sortie n'est pas nulle : brancher un dipôle sur la sortie fera chuter la tension en dessous de $U_{AB}/2$, ce qui illustre la limite du pont diviseur chargé.