Exprimer la puissance dissipée par effet Joule dans une résistance.

$$\mathcal{E}_C = \frac{1}{2}Cu^2 \qquad \mathcal{E}_L = \frac{1}{2}Li^2 \qquad P_J = RI^2 = \frac{U^2}{R}$$

Ces trois expressions s'établissent de la même façon, en intégrant la puissance reçue en convention récepteur. Pour le condensateur, $P = ui = Cu\,\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{2}Cu^2\right)$, et de même pour la bobine avec $u = L\,\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}$.

La différence est de nature : le condensateur et la bobine stockent l'énergie et la restituent, la résistance la convertit irréversiblement en chaleur. C'est cette dissipation qui amortit tout régime transitoire.

Un dipôle est en convention récepteur lorsque les flèches de $u$ et de $i$ sont de sens opposés à ses bornes, en convention générateur lorsqu'elles sont de même sens. Dans la convention récepteur, $ui$ est la puissance reçue ; dans la convention générateur, c'est la puissance fournie.

1. Pour le chargeur, le courant $i$ sort par la borne positive et les flèches de $u$ et de $i$ sont de même sens : c'est la convention générateur. Pour la batterie, $i$ entre par la borne positive et les flèches sont de sens opposés : c'est la convention récepteur.

2. En parcourant la maille, la loi des mailles donne $E_1 - r_1 i - r_2 i - E_2 = 0$, d'où
$$i = \frac{E_1 - E_2}{r_1 + r_2} = \frac{14 - 12}{0{,}50 + 0{,}10} = 3{,}3\ \text{A}$$

La tension commune aux deux dipôles vaut $u = E_1 - r_1 i = 12{,}3$ V. On vérifie la cohérence : $E_2 + r_2 i = 12{,}3$ V également.

3. Pour le chargeur, en convention générateur, $ui = 41$ W est la puissance fournie : elle est positive, le chargeur fonctionne en générateur. Pour la batterie, en convention récepteur, $ui = 41$ W est la puissance reçue : elle est positive, la batterie fonctionne en récepteur. Elle est bien en charge.

4. Le chargeur produit $E_1 i = 46{,}7$ W, dont $r_1 i^2 = 5{,}6$ W sont dissipés par effet Joule dans sa résistance interne. La batterie reçoit les 41,1 W restants, dont $r_2 i^2 = 1{,}1$ W sont dissipés en chaleur et $E_2 i = 40{,}0$ W sont effectivement stockés sous forme d'énergie chimique. Le rendement de la charge vaut donc
$$\eta = \frac{E_2 i}{E_1 i} = \frac{E_2}{E_1} = \frac{40{,}0}{46{,}7} = 86\ %$$

5. Avec $E_1 = 11$ V, $i = \dfrac{11 - 12}{0{,}60} = -1{,}7$ A. Ce signe négatif n'est pas une erreur : il indique que le courant circule en réalité dans le sens opposé à celui choisi pour l'orienter. La batterie se décharge dans le chargeur : la puissance qu'elle reçoit, $ui$, est devenue négative, elle fonctionne désormais en générateur. C'est pour empêcher cette décharge qu'un chargeur réel comporte une diode sur sa sortie.

Tout l'intérêt de l'algébrisation est là : on oriente les grandeurs arbitrairement, et c'est le calcul qui révèle le sens réel du courant et le rôle de chaque dipôle.

Pour la question 3, la puissance transportée $P = UI$ est imposée : c'est l'intensité dans la ligne qui dépend de la tension choisie, et les pertes dépendent de cette intensité.

1. En convention récepteur, la loi d'Ohm $u = Ri$ donne la puissance reçue, intégralement dissipée en chaleur :
$$P_J = ui = Ri^2 = \frac{u^2}{R}$$

Pour la bouilloire, $I = \dfrac{P}{U} = \dfrac{2000}{230} = 8{,}7$ A et $R = \dfrac{U^2}{P} = \dfrac{230^2}{2000} = 26\ \Omega$.

2. L'énergie nécessaire vaut $Q = mc\,\Delta T = 1{,}0 \times 4{,}18 \times 10^3 \times 80 = 3{,}3 \times 10^5$ J, d'où la durée
$$t = \frac{Q}{P} = \frac{3{,}3 \times 10^5}{2000} \approx 170\ \text{s}$$

soit un peu moins de trois minutes. L'expérience donne plutôt trois à quatre minutes : une partie de l'énergie chauffe la bouilloire elle-même et s'échappe par ses parois.

3. L'intensité dans la ligne vaut $I = P/U$, d'où les pertes
$$P_J = R_\ell I^2 = \frac{R_\ell P^2}{U^2}$$

4. Sous 20 kV, $I = 50$ A et $P_J = 25$ kW, soit 2,5 % de la puissance transportée. Sous 400 kV, $I = 2{,}5$ A et $P_J = 62{,}5$ W, soit 0,006 % seulement.

Les pertes varient comme l'inverse du carré de la tension : multiplier la tension par 20 divise les pertes par 400. C'est la raison pour laquelle l'électricité est transportée sous très haute tension, puis abaissée par des transformateurs à proximité des utilisateurs — et c'est aussi ce qui a imposé le courant alternatif, le seul qu'un transformateur sache élever ou abaisser.

L'ajustement affine renvoie la pente et l'ordonnée à l'origine de la droite $U = \text{pente} \times I + \text{ordonnée}$. Il suffit d'identifier terme à terme avec $U = E - rI$ : attention au signe.

Pour la question 3, l'intensité dans la charge vaut $I = \dfrac{E}{R + r}$, et la dérivée de $P$ par rapport à $R$ s'annule à l'optimum.

1. Le modèle de Thévenin associe en série une source de tension idéale $E$ et une résistance $r$. En convention générateur, le courant sortant par la borne positive, la résistance interne provoque une chute de tension $rI$ :
$$U = E - rI$$

La caractéristique est une droite décroissante : la tension aux bornes de la pile baisse à mesure qu'elle débite.

2. L'identification avec $U = \text{pente} \times I + \text{ordonnée}$ donne $E = \text{ordonnée}$, la tension à vide, et $r = -\text{pente}$. L'ajustement conduit à
$$E = 4{,}52\ \text{V} \qquad r = 1{,}21\ \Omega$$

Le modèle décrit très bien les mesures : les écarts à la droite ne dépassent pas 12 mV.

3. L'intensité dans la charge vaut $I = \dfrac{E}{R + r}$, d'où la puissance reçue par effet Joule
$$P = RI^2 = \frac{E^2R}{(R + r)^2}$$

Sa dérivée par rapport à $R$ vaut $\dfrac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}R} = E^2\,\dfrac{r - R}{(R + r)^3}$, qui s'annule pour $R = r$, positive avant et négative après : c'est bien un maximum. La puissance maximale vaut
$$P_{\max} = \frac{E^2}{4r} = \frac{4{,}52^2}{4 \times 1{,}21} = 4{,}2\ \text{W}$$

C'est l'adaptation d'impédance. À cet optimum, la pile dissipe en elle-même autant de puissance qu'elle en fournit à la charge : le rendement n'est que de 50 %.

4. En court-circuit, $R = 0$ et $I_{cc} = \dfrac{E}{r} = 3{,}7$ A. Toute la puissance est alors dissipée dans la résistance interne de la pile :
$$rI_{cc}^2 = \frac{E^2}{r} = 17\ \text{W}$$

Cette puissance, quatre fois plus grande que la puissance maximale utilisable, échauffe fortement la pile : elle se décharge en quelques minutes, peut fuir, et dans le cas des batteries au lithium prendre feu.