Sciences Physiques · PTSI2 Vaucanson
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Dimensions et ordre de grandeur
# Introduction Pour résoudre des problèmes de physique ou de chimie, vous allez devoir acquérir plusieurs mécanismes de réflexion. Dans ce chapitre nous allons voir des techniques simples **que vous devez utiliser pour chaque exercice**. Ces techniques correspondent à la boîte à outils multifonctions du physicien : elles sont très pratiques pour se faire rapidement une idée du résultat ou pour vérifier le résultat obtenu par d'autres méthodes. Voici celles que nous allons aborder. **★ Analyse dimensionnelle** — le but est d'utiliser la **dimension** des grandeurs physiques qui interviennent dans un problème pour nous aider à le résoudre.
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Conduire une analyse dimensionnelle
:::exercice[Le pendule simple] Prenons le cas d'un pendule simple de masse $m$, de longueur $l$, soumis à l'accélération de pesanteur $g$. **Questions** 1. Quelles sont les grandeurs physiques du problème ? 2. Quelles sont les dimensions associées à ces grandeurs ? 3. Peut-on dégager une grandeur **homogène** à un temps ? 4. À quelle caractéristique du système peut-on la relier ? Commenter. **Réponses** 1. Tout simplement $m$, $l$ et $g$. 2. $m$ s'exprime en kilogrammes ($kg$), $l$ s'exprime en mètres ($m$) et $g$ en $m.s^{-2}$. 3. En utilisant $l$ et $g$ on peut construire la quantité $T = \sqrt{l/g}$ qui est **homogène** à un temps, c'est-à-dire que $T$ a la dimension d'un temps, et s'exprime donc en secondes ($s$). 4. On peut la relier au temps caractéristique d'évolution du système, à savoir la période d'oscillation du pendule. Premier constat : sans résoudre aucune équation du mouvement il est possible de dégager une quantité propre au mouvement ! Deuxième constat : on voit que la masse n'apparaît pas dans $T$, l'équation du mouvement en est donc certainement dépourvue. En conclusion, une simple analyse dimensionnelle nous informe sur un résultat (obtention d'un temps qui est, à un facteur $2\pi$ près, la période d'oscillation du pendule) et sur une étape de calcul (élimination de la masse $m$ des équations du mouvement). Nous reviendrons sur les équations du mouvement dans le chapitre dédié à l'oscillateur harmonique.
**★ Ordre de grandeur** — le but est de faire une approximation d'un résultat numérique obtenu à la suite d'un exercice et d'utiliser ses connaissances pour vérifier la validité du résultat.
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Écrire, avec un nombre adapté de chiffres significatifs, le résultat d’une mesure.
:::exercice[Une période bien longue] Reprenons le cas du pendule simple précédent. Un étudiant réalise l'expérience de la mesure de la période d'oscillation et note sur sa copie $T = 46,7~s$. **Questions** 1. À quoi correspond l'ordre de grandeur de la période des oscillations ? 2. En reprenant l'expression de la période d'oscillation, quel doit être l'ordre de grandeur de la longueur du pendule ? Conclure. **Réponses** 1. L'ordre de grandeur de $T$ est la puissance de 10 la plus proche, soit $T \simeq 10^1~s$. 2. $T = \sqrt{l/g}$, donc la longueur du pendule s'exprime $l = gT^2$. On utilise nos connaissances, à savoir $g = 9,81~m.s^{-2}$, donc en ordre de grandeur $g \simeq 10^1~m.s^{-2}$. On obtient rapidement l'ordre de grandeur de la longueur du pendule $l \simeq 10^3~m$ soit $1~km$ ! Je doute fort que l'élève puisse trouver un pendule de cette taille… :::
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Conduire une analyse dimensionnelle
# Analyse dimensionnelle ## Dimension et unité :::definition[Dimension (nom)] On appelle **dimension** d'une quantité physique la relation qu'il y a entre cette quantité et les **grandeurs fondamentales**. ::: :::convention[Les sept grandeurs fondamentales] Voici les 7 grandeurs physiques fondamentales choisies par convention. Les unités de ces grandeurs sont elles aussi fixées par convention. Le système d'unités le plus utilisé est celui du Système International (S.I.), redéfini en mai 2019 à partir de constantes fondamentales. Nous utiliserons d'ailleurs plusieurs de ces constantes fondamentales tout au long de l'année. Les liens entre ces constantes et les unités ne sont pas au programme. | Grandeur fondamentale | Symbole de la dimension | Unité S.I. | Symbole de l'unité | |---|:---:|---|:---:| | Longueur | L | Mètre | $m$ | | Masse | M | Kilogramme | $kg$ | | Temps | T | Seconde | $s$ | | Température | $\Theta$ | Kelvin | $K$ | | Courant électrique | I | Ampère | $A$ | | Quantité de matière | N | Mole | $mol$ | | Intensité lumineuse | J | Candela | $cd$ | {centre 46%} *Les sept unités de base et les constantes fondamentales dont elles découlent.* ::: :::propriete Toute grandeur physique, à l'exception de celles dont la valeur est déterminée par comptage, peut être exprimée en fonction des grandeurs fondamentales à l'aide des équations de la physique. Les dimensions des grandeurs physiques sont écrites sous la forme de produits de puissances des dimensions des 7 grandeurs fondamentales. ::: :::exemple[Dimension de l'énergie cinétique] L'énergie cinétique $E_c$ d'un solide de masse $m$ et de vitesse $v$ s'exprime usuellement en joules. Pour relier la dimension de cette grandeur (l'énergie) à celle des grandeurs fondamentales, on peut utiliser une équation de la physique : $$E_c = \frac{1}{2} m v^2.$$ $m$ a la dimension d'une masse et $v$ a la dimension d'une longueur divisée par un temps. Le symbole « = » de cette équation nous indique que la dimension de l'énergie est la même que le terme $mv^2$ ($1/2$ étant du comptage, sa dimension est l'unité), soit une masse multipliée par le carré d'une longueur et divisée par le carré d'un temps. On exprime alors l'énergie cinétique par une **équation aux dimensions** : $$\text{dim}\,E_c = M L^2 T^{-2}$$ Cette équation permet aussi d'exprimer l'unité « joule » en unités fondamentales, soit : $$J = kg.m^2.s^{-2}$$ ::: ⚠️ **Erreur à éviter :** ne pas confondre la dimension d'une grandeur physique et son unité. La dimension de la grandeur physique « vitesse » est une longueur divisée par un temps. L'unité de la vitesse peut s'exprimer en m/s (S.I.), mais aussi en km/h ou en miles/h. ⚠️ Les unités angulaires comme les radians ou les degrés sont de dimension unité. En effet, les angles sont des grandeurs physiques de type comptage : nombre de tours divisé par 360 pour les degrés ou divisé par $2\pi$ pour les radians.
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Conduire une analyse dimensionnelle
## Équation aux dimensions À partir des grandeurs physiques présentes dans un problème, il est possible de construire d'autres grandeurs parfois plus pertinentes. Il suffit pour cela de chercher si la grandeur souhaitée peut s'exprimer en fonction du produit de puissances des grandeurs présentes. :::definition[Homogène (adj.)] Lorsque deux quantités physiques ont la même dimension, on dit qu'elles sont **homogènes**. ::: :::exemple[Retour sur le pendule] Revenons au cas du pendule de l'exercice de l'introduction. Une grandeur pertinente dans cet exercice est la période d'oscillation. On cherche donc une quantité qui a la dimension d'un temps à partir des autres grandeurs physiques présentes, à savoir la masse $m$, la longueur du fil $l$ et la constante de gravité $g$. On écrit alors l'équation aux dimensions : $$\begin{aligned} T &= (\text{dim}\,m)^{\alpha}\,(\text{dim}\,l)^{\beta}\,(\text{dim}\,g)^{\gamma} \\ &= M^{\alpha} L^{\beta} L^{\gamma} T^{-2\gamma} \\ &= M^{\alpha} L^{\beta + \gamma} T^{-2\gamma}. \end{aligned}$$ Les seules valeurs possibles de $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ pour avoir la dimension d'un temps sont : $$\alpha = 0, \qquad \beta = \tfrac{1}{2}, \qquad \gamma = -\tfrac{1}{2}.$$ Si on réinjecte ces valeurs dans l'équation précédente, on obtient : $$T = \text{dim}\,\sqrt{\dfrac{l}{g}}.$$ On retrouve ainsi la quantité $\sqrt{l/g}$ qui est homogène à un temps. Ce temps est caractéristique de l'oscillation du pendule. Coup de chance, il s'avère que ce temps correspond à l'inverse de la **pulsation** propre du pendule (voir le chapitre sur l'oscillateur harmonique). :::
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Conduire une analyse dimensionnelle
:::exercice[Particule dans un champ magnétique] On considère une particule chargée se déplaçant circulairement dans un champ magnétique. On voudrait estimer la vitesse angulaire $\omega$ de la particule. Les grandeurs du problème sont les suivantes : - la masse de la particule $m$, homogène à $M$ ; - la charge de la particule $q$, homogène à $I.T$ ; - le champ magnétique $B$, homogène à $M.T^{-2}.I^{-1}$. A priori la vitesse angulaire ne dépendra que de ces paramètres, on peut donc l'écrire comme $\omega = k\,m^{\alpha} q^{\beta} B^{\gamma}$ avec $k$, $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ des constantes sans dimension. 1. À quoi est homogène la vitesse angulaire $\omega$ ? 2. À quoi est homogène le produit $k\,m^{\alpha} q^{\beta} B^{\gamma}$ ? 3. Identifier terme à terme les dimensions et en déduire les valeurs de $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$. 4. Quelle est l'expression de la vitesse angulaire $\omega$ ? :::
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Conduire une analyse dimensionnelle
## Dimension des fonctions et opérations :::propriete La dérivée $n$-ième d'une fonction $f$ par rapport à une variable $x$ est homogène à $f/x^n$ : $$\text{dim}\left(\frac{\mathrm{d}^n f}{\mathrm{d}x^n}\right) = \dfrac{\text{dim}\,f}{\text{dim}\,x^n}$$ ::: :::exercice Soit l'équation différentielle sur la variable $x(t)$ : $$\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} + \dfrac{\omega_0}{Q}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + \omega_0^2\, x = 0$$ Montrer que la dimension des grandeurs $\omega_0$ et $Q$ ne dépend pas de la dimension de $x$. ::: :::propriete Les fonctions usuelles ($\cos$, $\sin$, $\tan$, $\exp$, $\ln$, $\log$) ne prennent que des arguments sans dimension. ::: :::exercice Que penser de la définition $\text{pH} = -\log\left(\left[\mathrm{H_3O^+}\right]\right)$ ? Commenter les expressions $\exp(-t)$ et $\cos(2\pi f)$. :::
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Écrire, avec un nombre adapté de chiffres significatifs, le résultat d’une mesure.
# Ordre de grandeur ## Notion :::definition[Ordre de grandeur] Puissance de 10 la plus proche du nombre considéré. Ce terme est régulièrement utilisé (abusivement) à la place de « valeur approximative ». ::: :::exercice Donner les ordres de grandeur de : $658\,410~kg$, $0{,}0215~s$, $4{,}9.10^{3}~K$. Donner « l'ordre de grandeur » de l'indice du verre ? :::
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Écrire, avec un nombre adapté de chiffres significatifs, le résultat d’une mesure.
## Emploi Les ordres de grandeur peuvent donner une approximation du résultat dans un exercice. Cependant, plus on fait d'approximations, plus on peut s'éloigner du résultat. De manière générale, il est demandé de toujours pousser le calcul littéral le plus loin possible pour éviter de faire des ordres de grandeur à répétition et s'éloigner du résultat. :::exemple[Une approximation répétée coûte cher] Si on cherche à faire l'ordre de grandeur du terme $0{,}4^{10}$ en faisant l'ordre de grandeur de $0{,}4$ et en le mettant à la puissance 10, on tombe sur $10^{-10}$. Si on fait l'ordre de grandeur du calcul exact on trouve $1.10^{-4}$, soit un résultat un million de fois plus grand que le calcul précédent ! Comment expliquer une telle différence ? Dans le premier cas on a fait 10 fois l'ordre de grandeur du chiffre $0{,}4$ : $$0{,}4^{10} = \underbrace{0{,}4\times 0{,}4 \times \dots \times 0{,}4}_{10\ \text{fois}} \simeq \underbrace{0{,}1\times 0{,}1 \times \dots \times 0{,}1}_{10\ \text{fois}} = 10^{-10}.$$ Dans le deuxième cas, comme il n'y a qu'un seul ordre de grandeur fait sur le résultat final, celui-ci est plus proche du calcul exact. :::
## Comparaison Il est nécessaire de connaître quelques ordres de grandeur pour aborder un problème physique. Si vous trouvez que le champ magnétique créé par une bobine en TP vaut $10^5$ tesla et que vous n'avez pas de référence pour savoir si cette valeur est faible ou élevée, vous ne vous rendrez pas compte de l'absurdité de cette mesure. Une fiche de quelques ordres de grandeur à retenir sera donnée en annexe.
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