Circuits du premier ordre

On a relevé l'évolution de la tension aux bornes d'un condensateur lors de sa charge à travers une résistance, ainsi que celle de l'intensité le traversant. Déterminer, à partir de ces relevés, la tension $E$ de l'échelon appliqué, la résistance $R$ et la capacité $C$ du circuit $RC$ série.

Une source de courant idéale, de courant électromoteur $\eta$, débite dans l'association parallèle d'une résistance $R$ et d'un condensateur $C$ initialement déchargé. L'interrupteur est fermé à $t = 0$.

1. Établir, pour $t \geqslant 0$, l'équation différentielle régissant la charge $q(t)$ du condensateur.

2. Déterminer $q(t)$, $i_C(t)$ et $i_R(t)$ pour $t < 0$ puis pour $t \geqslant 0$. Quelle est la constante de temps du circuit ?

3. Tracer les chronogrammes des trois grandeurs.

On considère le circuit ci-contre. À $t = 0$ on bascule l'interrupteur de la position 0 vers la position 1, le circuit étant en régime continu permanent juste avant le basculement.

1. Que valent la tension $U$ et le courant $i$ en régime permanent pour $t \geqslant 0$ ?

2. Que valent $U$ et $i$ en $t = 0^-$ et en $t = 0^+$ ?

3. Établir les expressions de $U(t)$ et de $i(t)$.

4. Donner l'énergie stockée dans le condensateur une fois le régime permanent établi. Application numérique avec $E_1 = 5$ V, $E_2 = 2$ V et $C = 2\ \mathrm{\mu F}$.

Un dipôle comporte, entre deux bornes A et B, une résistance $R$ et un condensateur de capacité $C$ placés en série. On branche entre A et B une source de tension idéale de force électromotrice constante $E$ et un interrupteur $K$. Initialement le circuit est ouvert et le condensateur déchargé. On note $v_s$ la tension aux bornes du condensateur. À $t = 0$ on ferme $K$.[^Adapté du concours TSI 2005.]

Première partie : charge à travers une résistance.

1. Quel est le comportement du condensateur au bout d'un temps très long ? En déduire les valeurs de $v_s$ et de $i$.

2. Établir l'expression de $v_s(t)$ pour $t \geqslant 0$ et vérifier qu'elle redonne le résultat précédent.

3. Donner l'allure de $v_s(t)$ en précisant son asymptote. Calculer la pente à l'origine et les coordonnées du point d'intersection de la tangente à l'origine avec l'asymptote.

4. Déterminer, en fonction de $\tau$, la date $t_1$ à partir de laquelle la charge diffère de moins de 1 % de sa valeur finale. On donne $\ln 100 = 4{,}6$.

5. Déterminer l'expression de $i(t)$ pour $t \geqslant 0$.

Deuxième partie : bilan énergétique.

6. Exprimer l'énergie $\mathcal{E}_c$ emmagasinée par le condensateur en fin de charge, l'énergie $\mathcal{E}_J$ dissipée dans la résistance et l'énergie $\mathcal{E}_g$ fournie par la source, toutes trois en fonction de $C$ et $E$. Vérifier la conservation de l'énergie.

7. Définir et calculer le rendement énergétique $\rho$ de la charge.

Troisième partie : amélioration du dispositif.

Pour améliorer ce rendement, on effectue la charge en deux étapes. Le condensateur étant déchargé, on ferme $K_0$ en position 1 à $t = 0$ et on attend la fin de la charge sous $E/2$ ; on bascule ensuite $K_0$ en position 2 et on procède à la charge sous $E$.

8. Quelles sont les énergies $\mathcal{E}_{g1}$ fournie par la source et $\mathcal{E}_{c1}$ emmagasinée par le condensateur au cours de la première phase ?

9. Établir l'équation différentielle vérifiée par $v_s$ au cours de la deuxième phase, puis la résoudre en prenant pour origine des temps la date du basculement. En déduire $i(t)$.

10. Déterminer les énergies $\mathcal{E}_{g2}$ et $\mathcal{E}_{c2}$ de la deuxième phase, puis calculer le rendement $\rho'$ de la charge en deux étapes.

11. Comment faudrait-il procéder pour faire tendre le rendement vers 1 ? Aucun calcul n'est demandé, mais la réponse doit être argumentée.

Une bobine réelle est modélisée par une inductance $L$ en série avec une résistance $r$. Un interrupteur est modélisé par un interrupteur idéal en parallèle avec une résistance $R$ très élevée, celle de l'air entre ses contacts. L'interrupteur est initialement fermé et un régime continu permanent est établi. Il est ouvert à $t = 0$ ; le schéma représente le circuit pour $t \geqslant 0$.

1. Donner la valeur de l'intensité avant l'ouverture de l'interrupteur.

2. Donner la valeur de l'intensité une fois le nouveau régime permanent établi.

3. Établir l'équation différentielle vérifiée par l'intensité après l'ouverture.

4. En déduire $i(t)$ en tenant compte des conditions aux limites.

5. Déterminer $U(t)$ pour $t \geqslant 0$. Examiner le cas $R \gg r$ à $t = 0^+$ et expliquer pourquoi l'ouverture d'un circuit inductif peut provoquer un arc électrique aux bornes de l'interrupteur.

Le circuit comporte trois résistances $R_1$, $R_2$ et $R_3$, une bobine parfaite d'inductance $L$, un générateur de force électromotrice $E$ et un interrupteur $K$.

1. La bobine n'est initialement parcourue par aucun courant. À $t = 0$ on ferme $K$. Établir la loi d'évolution de $i(t)$ et déterminer le courant $I$ atteint en régime permanent. On posera
$$\tau = \frac{L(R_2 + R_3)}{R_1R_2 + R_2R_3 + R_3R_1}$$

2. Le courant $I$ étant établi, on ouvre $K$ en réinitialisant l'origine des temps. Déterminer la nouvelle loi $i(t)$ ainsi que l'énergie dissipée par effet Joule dans les résistances. On posera $\tau' = \dfrac{L}{R_1 + R_2}$.

À l'instant $t = 0$, on lâche sans vitesse initiale une bille assimilée à un point matériel de masse $m$. Lors de sa chute, l'air exerce une force de frottement fluide $\vec{f} = -\lambda\,\vec{v}$.[^La loi de frottement linéaire employée est celle établie par G. G. Stokes, « On the effect of the internal friction of fluids on the motion of pendulums », Transactions of the Cambridge Philosophical Society 9, 8 (1851).]

1. Déterminer la dimension de $\lambda$, puis son unité dans le système international.

2. Définir le système et le référentiel d'étude, puis faire le bilan des actions mécaniques.

3. En appliquant la deuxième loi de Newton, établir l'équation différentielle vérifiée par la vitesse, la mettre sous forme canonique et la résoudre.

4. Que devient la vitesse aux temps longs ? Identifier la grandeur électrique analogue de chacune des grandeurs mécaniques du problème.

Un faisceau monochromatique d'intensité $I_0$ entre dans une cuve de longueur $l$ contenant une espèce absorbante de concentration $C$ dans un solvant non absorbant. À la traversée d'une tranche d'épaisseur $\mathrm{d}x$, le flux absorbé est proportionnel à l'épaisseur, au flux incident $I(x)$ et à la concentration :[^La loi remonte à Pierre Bouguer, Essai d'optique sur la gradation de la lumière (1729), reprise par J. H. Lambert dans Photometria (1760), puis étendue à la concentration par August Beer (1852).]
$$\mathrm{d}I = -k\,I(x)\,C\,\mathrm{d}x$$

1. Mettre l'équation différentielle sous forme canonique, puis la résoudre.

2. On appelle absorbance la grandeur $A = \log\dfrac{I_0}{I_t}$, où $I_t$ est l'intensité transmise. Exprimer $A$ en fonction de $l$, de $C$ et de $\varepsilon = \dfrac{k}{\ln 10}$.

3. Une solution de diiode de concentration inconnue est placée dans une cuve de longueur $l = 1$ cm. On mesure $A = 3{,}1$, et l'on sait qu'une solution à $25\ \mathrm{mmol \cdot L^{-1}}$ donne $A = 1{,}25$. Quelle est la concentration de la solution ? Commenter.

Une réaction d'ordre 1 est une réaction dont la vitesse volumique de disparition d'un réactif est proportionnelle à sa concentration. C'est le cas de la décomposition du peroxyde d'hydrogène en solution aqueuse :[^La première étude quantitative d'une cinétique d'ordre 1 est due à Ludwig Wilhelmy, sur l'inversion du saccharose (1850).]
$$\mathrm{H_2O_2\,(aq)} = \mathrm{H_2O\,(l)} + \tfrac{1}{2}\,\mathrm{O_2\,(g)}$$

1. En notant $k$ la constante de vitesse, établir l'équation différentielle vérifiée par la concentration en peroxyde d'hydrogène et la mettre sous forme canonique.

2. À $t = 0$ on introduit $n_0 = 1$ mmol dans un volume $V = 100$ mL d'eau. Résoudre l'équation différentielle et exprimer le temps de demi-réaction.

À la date $t = 0$, on plonge un thermomètre indiquant $\theta_0 = 20\ ^\circ$C dans un liquide à la température $\theta_1 = 60\ ^\circ$C. On assimile le thermomètre à un système du premier ordre de constante de temps $\tau = 10$ s.[^Adapté du TD 09 d'Alexandre Alles, PTSI, lycée Benjamin Franklin, Orléans, 2018-2019, exercice 5.]

1. Établir l'expression de la température lue sur le thermomètre.

2. Au bout de combien de temps la lecture est-elle correcte à un degré près ? Commenter du point de vue de l'expérimentateur.