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📘 Question de cours
Énergies stockées et puissance Joule
Donner l'expression de l'énergie stockée par un condensateur et par une bobine, ainsi que celle de la puissance dissipée par effet Joule dans une résistance en fonction de $R$ et de l'intensité $I$ qui la traverse.
✅ Correction : $$\mathcal{E}_C = \frac{1}{2}Cu^2 \qquad \mathcal{E}_L = \frac{1}{2}Li^2 \qquad P_J = RI^2 = \frac{U^2}{R}$$
Ces trois expressions s'établissent de la même façon, en intégrant la puissance reçue en convention récepteur. Pour le condensateur, $P = ui = Cu\,\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{2}Cu^2\right)$, et de même pour la bobine avec $u = L\,\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}$.
La différence est de nature : le condensateur et la bobine stockent l'énergie et la restituent, la résistance la convertit irréversiblement en chaleur. C'est cette dissipation qui amortit tout régime transitoire.
Ces trois expressions s'établissent de la même façon, en intégrant la puissance reçue en convention récepteur. Pour le condensateur, $P = ui = Cu\,\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{2}Cu^2\right)$, et de même pour la bobine avec $u = L\,\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}$.
La différence est de nature : le condensateur et la bobine stockent l'énergie et la restituent, la résistance la convertit irréversiblement en chaleur. C'est cette dissipation qui amortit tout régime transitoire.
📝 Exercice 1
Ordres de grandeur en électricité
1. Associer à chaque situation la tension correspondante.
Situations : potentiel de repos de la membrane d'un neurone ; pile bâton AA ; batterie de voiture ; prise de courant domestique ; caténaire de TGV ; ligne à très haute tension ; éclair d'orage.
Valeurs : 12 V ; 25 kV ; 70 mV ; 400 kV ; 1,5 V ; $10^{8}$ V ; 230 V.
2. Même question pour les intensités.
Situations : LED de signalisation ; charge rapide d'un smartphone ; bouilloire électrique ; démarreur de voiture ; coup de foudre.
Valeurs : 30 kA ; 10 A ; 20 mA ; 200 A ; 2 A.
3. Donner l'ordre de grandeur des valeurs rencontrées en TP pour une résistance, la capacité d'un condensateur et l'inductance d'une bobine. Quel est l'ordre de grandeur de la capacité d'un supercondensateur ?
4. Un disjoncteur différentiel domestique coupe l'alimentation dès qu'une fuite de courant de 30 mA est détectée. La résistance du corps humain étant de l'ordre du kilohm, estimer le courant qui traverserait une personne touchant un conducteur à 230 V, et justifier le choix de ce seuil.
Situations : potentiel de repos de la membrane d'un neurone ; pile bâton AA ; batterie de voiture ; prise de courant domestique ; caténaire de TGV ; ligne à très haute tension ; éclair d'orage.
Valeurs : 12 V ; 25 kV ; 70 mV ; 400 kV ; 1,5 V ; $10^{8}$ V ; 230 V.
2. Même question pour les intensités.
Situations : LED de signalisation ; charge rapide d'un smartphone ; bouilloire électrique ; démarreur de voiture ; coup de foudre.
Valeurs : 30 kA ; 10 A ; 20 mA ; 200 A ; 2 A.
3. Donner l'ordre de grandeur des valeurs rencontrées en TP pour une résistance, la capacité d'un condensateur et l'inductance d'une bobine. Quel est l'ordre de grandeur de la capacité d'un supercondensateur ?
4. Un disjoncteur différentiel domestique coupe l'alimentation dès qu'une fuite de courant de 30 mA est détectée. La résistance du corps humain étant de l'ordre du kilohm, estimer le courant qui traverserait une personne touchant un conducteur à 230 V, et justifier le choix de ce seuil.
💡 Indice : Pour les deux premières questions, partir des valeurs que l'on connaît avec certitude — la pile, la prise de courant — puis classer les autres par ordre croissant. Pour la dernière, la loi d'Ohm suffit.
✅ Correction : 1. Neurone : 70 mV ; pile AA : 1,5 V ; batterie de voiture : 12 V ; prise domestique : 230 V ; caténaire de TGV : 25 kV ; ligne à très haute tension : 400 kV ; éclair : $10^{8}$ V. Les tensions rencontrées couvrent ainsi une dizaine d'ordres de grandeur.
2. LED : 20 mA ; charge d'un smartphone : 2 A ; bouilloire : 10 A ; démarreur : 200 A ; foudre : 30 kA. Le démarreur est un bon exemple de courant intense sous faible tension : c'est la puissance, de l'ordre de 2 kW, qui est en jeu.
3. En TP, on rencontre des résistances de 10 $\Omega$ à 1 M$\Omega$, typiquement de l'ordre du kilohm ; des condensateurs du nanofarad au microfarad ; des bobines de 10 mH à 1 H. Les valeurs courantes s'étendent plus largement : du picofarad au millifarad pour les condensateurs, du microhenry au henry pour les bobines. Un supercondensateur atteint le farad, voire plusieurs milliers de farads.
4. D'après la loi d'Ohm, $I = \dfrac{230}{10^{3}} \approx 0{,}2$ A, soit près de dix fois le seuil de 30 mA. Or c'est au-delà de 30 mA environ qu'un courant traversant le corps peut provoquer une paralysie respiratoire, puis, au-delà de quelques dizaines de milliampères de plus, une fibrillation cardiaque. Le différentiel, qui coupe en quelques dizaines de millisecondes dès 30 mA, intervient donc avant que le courant n'atteigne un niveau dangereux.
2. LED : 20 mA ; charge d'un smartphone : 2 A ; bouilloire : 10 A ; démarreur : 200 A ; foudre : 30 kA. Le démarreur est un bon exemple de courant intense sous faible tension : c'est la puissance, de l'ordre de 2 kW, qui est en jeu.
3. En TP, on rencontre des résistances de 10 $\Omega$ à 1 M$\Omega$, typiquement de l'ordre du kilohm ; des condensateurs du nanofarad au microfarad ; des bobines de 10 mH à 1 H. Les valeurs courantes s'étendent plus largement : du picofarad au millifarad pour les condensateurs, du microhenry au henry pour les bobines. Un supercondensateur atteint le farad, voire plusieurs milliers de farads.
4. D'après la loi d'Ohm, $I = \dfrac{230}{10^{3}} \approx 0{,}2$ A, soit près de dix fois le seuil de 30 mA. Or c'est au-delà de 30 mA environ qu'un courant traversant le corps peut provoquer une paralysie respiratoire, puis, au-delà de quelques dizaines de milliampères de plus, une fibrillation cardiaque. Le différentiel, qui coupe en quelques dizaines de millisecondes dès 30 mA, intervient donc avant que le courant n'atteigne un niveau dangereux.
📝 Exercice 2
Quadripôle
Un quadripôle peut être modélisé comme l'association de deux dipôles : une résistance d'entrée et un générateur de Thévenin en sortie, c'est-à-dire un générateur de tension idéal en série avec une résistance, selon le schéma ci-dessous. La résistance d'entrée et la tension $E$ sont obtenues en laissant la sortie en circuit ouvert. La résistance de sortie peut être obtenue en court-circuitant la sortie et en mesurant le courant qui y circule.
Modéliser le quadripôle ci-dessous comme l'association de deux dipôles. On exprimera la tension du générateur équivalent ainsi que les résistances d'entrée et de sortie en fonction de $U_{AB}$ et de $R$. L'entrée est prise entre A et B, la sortie entre E et F.
Modéliser le quadripôle ci-dessous comme l'association de deux dipôles. On exprimera la tension du générateur équivalent ainsi que les résistances d'entrée et de sortie en fonction de $U_{AB}$ et de $R$. L'entrée est prise entre A et B, la sortie entre E et F.
💡 Indice : Sortie ouverte, aucun courant ne traverse la résistance reliée à E : on reconnaît alors un pont diviseur de tension, et la résistance d'entrée se lit directement.
Pour la résistance de sortie, calculer l'intensité de court-circuit $I_{cc}$ lorsque E est relié à F, puis utiliser $R_s = E/I_{cc}$.
Pour la résistance de sortie, calculer l'intensité de court-circuit $I_{cc}$ lorsque E est relié à F, puis utiliser $R_s = E/I_{cc}$.
✅ Correction : Résistance d'entrée. Sortie ouverte, la résistance reliée à E n'est parcourue par aucun courant. Vu de l'entrée, le circuit se réduit aux deux résistances $R$ entre A et C, puis entre C et la ligne inférieure, qui sont en série :
$$R_e = 2R$$
Tension du générateur équivalent. Toujours sortie ouverte, la tension de sortie est celle qui règne entre C et la ligne inférieure, aucune chute de tension n'ayant lieu dans la résistance reliée à E. Les deux résistances $R$ forment un pont diviseur :
$$E = \frac{R}{R + R}\,U_{AB} = \frac{U_{AB}}{2}$$
Résistance de sortie. En court-circuitant la sortie, la résistance reliée à E se retrouve en parallèle avec la résistance entre C et la ligne inférieure : l'association vaut $R/2$, en série avec la résistance d'entrée $R$. Le diviseur de tension donne
$$V_C = \frac{R/2}{R + R/2}\,U_{AB} = \frac{U_{AB}}{3} \qquad \text{puis} \qquad I_{cc} = \frac{V_C}{R} = \frac{U_{AB}}{3R}$$
d'où la résistance de sortie
$$R_s = \frac{E}{I_{cc}} = \frac{U_{AB}/2}{U_{AB}/(3R)} = \frac{3R}{2}$$
Ce résultat se retrouve directement en éteignant la source d'entrée, c'est-à-dire en remplaçant $U_{AB}$ par un fil : vu de la sortie, on trouve alors $R$ en série avec l'association parallèle de deux résistances $R$, soit $R + R/2 = 3R/2$.
Le quadripôle se modélise donc par une résistance d'entrée $2R$ et un générateur de Thévenin de force électromotrice $U_{AB}/2$ et de résistance interne $3R/2$. On remarquera que la résistance de sortie n'est pas nulle : brancher un dipôle sur la sortie fera chuter la tension en dessous de $U_{AB}/2$, ce qui illustre la limite du pont diviseur chargé.
$$R_e = 2R$$
Tension du générateur équivalent. Toujours sortie ouverte, la tension de sortie est celle qui règne entre C et la ligne inférieure, aucune chute de tension n'ayant lieu dans la résistance reliée à E. Les deux résistances $R$ forment un pont diviseur :
$$E = \frac{R}{R + R}\,U_{AB} = \frac{U_{AB}}{2}$$
Résistance de sortie. En court-circuitant la sortie, la résistance reliée à E se retrouve en parallèle avec la résistance entre C et la ligne inférieure : l'association vaut $R/2$, en série avec la résistance d'entrée $R$. Le diviseur de tension donne
$$V_C = \frac{R/2}{R + R/2}\,U_{AB} = \frac{U_{AB}}{3} \qquad \text{puis} \qquad I_{cc} = \frac{V_C}{R} = \frac{U_{AB}}{3R}$$
d'où la résistance de sortie
$$R_s = \frac{E}{I_{cc}} = \frac{U_{AB}/2}{U_{AB}/(3R)} = \frac{3R}{2}$$
Ce résultat se retrouve directement en éteignant la source d'entrée, c'est-à-dire en remplaçant $U_{AB}$ par un fil : vu de la sortie, on trouve alors $R$ en série avec l'association parallèle de deux résistances $R$, soit $R + R/2 = 3R/2$.
Le quadripôle se modélise donc par une résistance d'entrée $2R$ et un générateur de Thévenin de force électromotrice $U_{AB}/2$ et de résistance interne $3R/2$. On remarquera que la résistance de sortie n'est pas nulle : brancher un dipôle sur la sortie fera chuter la tension en dessous de $U_{AB}/2$, ce qui illustre la limite du pont diviseur chargé.
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