Entraînement — Colle n°2

✅ Correction : 1. En dimensions fondamentales, $\mathrm{dim}(\varepsilon_0) = \mathrm{M^{-1}L^{-3}T^{4}I^{2}}$. Pour $\mu_0$, exprimé en $\mathrm{N \cdot A^{-2}}$, on utilise le fait que le newton est l'unité d'une force, de dimension $\mathrm{MLT^{-2}}$, d'où $\mathrm{dim}(\mu_0) = \mathrm{MLT^{-2}I^{-2}}$. Le produit vaut
$$\mathrm{dim}(\varepsilon_0\mu_0) = \mathrm{M^{-1}L^{-3}T^{4}I^{2}} \times \mathrm{MLT^{-2}I^{-2}} = \mathrm{L^{-2}T^{2}}$$

C'est l'inverse du carré d'une vitesse. En multipliant par $c^2$, de dimension $\mathrm{L^2T^{-2}}$, on obtient bien une grandeur sans dimension : la relation est homogène.

2. a) De $\mathrm{dim}(L\omega) = \mathrm{dim}(R)$ et $\mathrm{dim}(\omega) = \mathrm{T^{-1}}$ on tire $\mathrm{dim}(L) = \mathrm{dim}(R)\,\mathrm{T}$, donc $\mathrm{dim}\left(\dfrac{L}{R}\right) = \mathrm{T}$.

De $\mathrm{dim}\left(\dfrac{1}{C\omega}\right) = \mathrm{dim}(R)$ on tire $\mathrm{dim}(C) = \dfrac{\mathrm{T}}{\mathrm{dim}(R)}$, donc $\mathrm{dim}(RC) = \mathrm{T}$.

Enfin $\mathrm{dim}(LC) = \mathrm{dim}(R)\,\mathrm{T} \times \dfrac{\mathrm{T}}{\mathrm{dim}(R)} = \mathrm{T^2}$, donc $\mathrm{dim}\left(\sqrt{LC}\right) = \mathrm{T}$.

b) De $P = RI^2$ on tire
$$\mathrm{dim}(R) = \frac{\mathrm{dim}(P)}{\mathrm{dim}(I)^2} = \frac{\mathrm{ML^2T^{-3}}}{\mathrm{I^2}} = \mathrm{ML^{2}T^{-3}I^{-2}}$$

c) En reportant dans les résultats de la question a) :
$$\mathrm{dim}(L) = \mathrm{dim}(R)\,\mathrm{T} = \mathrm{ML^{2}T^{-2}I^{-2}} \qquad \mathrm{dim}(C) = \frac{\mathrm{T}}{\mathrm{dim}(R)} = \mathrm{M^{-1}L^{-2}T^{4}I^{2}}$$

d) i) Le dénominateur additionne $R^2$ et $(L\omega)^2$, qui ont bien la même dimension, celle du carré d'une résistance. Le quotient vaut donc
$$\mathrm{dim}\left(\frac{L}{R^2}\right) = \frac{\mathrm{dim}(R)\,\mathrm{T}}{\mathrm{dim}(R)^2} = \frac{\mathrm{T}}{\mathrm{dim}(R)} = \mathrm{dim}(C)$$
La formule est homogène.

ii) $\mathrm{dim}(C\omega U) = \dfrac{\mathrm{T}}{\mathrm{dim}(R)} \times \mathrm{T^{-1}} \times \mathrm{dim}(U) = \dfrac{\mathrm{dim}(U)}{\mathrm{dim}(R)} = \mathrm{dim}(I)$. La formule est homogène.

iii) Le dénominateur est homogène, de la dimension d'un carré de résistance, mais le membre de droite est alors de dimension $\dfrac{\mathrm{dim}(U)}{\mathrm{dim}(R)^2} = \dfrac{\mathrm{dim}(I)}{\mathrm{dim}(R)}$, qui n'est pas celle d'une capacité. La formule n'est pas homogène.

Une lecture rapide permettait d'ailleurs de le soupçonner : la grandeur $C$ apparaît des deux côtés de l'égalité, ce qui est le signe d'une erreur de recopie — il s'agit vraisemblablement de l'expression de l'intensité dans un circuit RLC série.

✅ Correction : 1. Le rayon est parallèle à l'axe optique, donc perpendiculaire à la face plane d'entrée. Il arrive en incidence normale et n'est pas dévié : il traverse la face plane sans changer de direction.

2. Sur le dioptre sphérique de sortie, la normale au point d'impact M est portée par le rayon du cercle, c'est-à-dire par la droite OM où O est le centre de la face plane. En notant $i_1$ l'angle d'incidence interne et $i_2$ l'angle de réfraction dans l'air, le rayon horizontal fait avec OM l'angle $i_1$ tel que
$$\sin i_1 = \frac{h}{R} \qquad \text{et} \qquad n \sin i_1 = \sin i_2 \quad \text{donc} \quad \sin i_2 = \frac{nh}{R}$$

3. Dans le triangle OMA, l'angle en O vaut $i_1$, l'angle en M vaut $180^\circ - i_2$ et donc l'angle en A vaut $i_2 - i_1$. La relation des sinus donne
$$\frac{\overline{\text{OA}}}{\sin(180^\circ - i_2)} = \frac{R}{\sin(i_2 - i_1)} \qquad \text{soit} \qquad \overline{\text{OA}} = R\,\frac{\sin i_2}{\sin(i_2 - i_1)}$$

et comme $\overline{\text{OS}} = R$ :
$$\boxed{\overline{\text{SA}} = R\left(\frac{\sin i_2}{\sin(i_2 - i_1)} - 1\right)} \qquad \text{avec} \quad \sin i_1 = \frac{h}{R}, \quad \sin i_2 = \frac{nh}{R}$$

Le point A dépend de $h$ : le système n'est pas rigoureusement stigmatique. C'est l'aberration de sphéricité.

4. Le punctum proximum d'un œil emmétrope est à 25 cm et sa résolution angulaire vaut environ $3 \times 10^{-4}$ rad, soit une minute d'arc. À 25 cm, l'écart minimal résolu est donc
$$\varepsilon = 0{,}25 \times 3\times 10^{-4} \approx 75\ \text{µm}$$

5. Pour $h$ petit, les angles sont petits : $i_1 \simeq h/R$, $i_2 \simeq nh/R$ et $i_2 - i_1 \simeq (n-1)h/R$, d'où la position paraxiale
$$\overline{\text{OA}}_{\text{par}} = \frac{nR}{n-1} = \frac{1{,}6 \times 100}{0{,}6} \approx 267\ \text{mm} \qquad \overline{\text{SA}}_{\text{par}} \approx 167\ \text{mm}$$

Les rayons marginaux coupent l'axe avant ce point, et forment dans le plan focal paraxial une tache dont le diamètre croît très vite avec $h$ :

$h = 2$ mm : tache de 2 µm ; $h = 5$ mm : 32 µm ; $h = 10$ mm : 260 µm ; $h = 20$ mm : 2,2 mm.

La condition $2|y| < \varepsilon = 75$ µm donne $h_m \approx 6{,}6$ mm, soit
$$h \in [-6{,}6\ \text{mm}\ ;\ 6{,}6\ \text{mm}] \qquad \text{c'est-à-dire} \qquad \frac{h}{R} < 7\ %$$

Seule une étroite calotte centrale du dioptre, de rayon quinze fois plus petit que celui de la sphère, travaille dans les conditions du stigmatisme approché. C'est bien cette zone utile, et non l'épaisseur du verre, que désigne l'appellation « lentille mince ».

6. Pour un capteur de 5 µm de pixel, la même condition donne $h_m \approx 2{,}7$ mm, soit $h/R < 3\ %$. Le capteur étant quinze fois plus résolvant que l'œil, il est bien plus exigeant sur le diaphragme : c'est la raison pour laquelle on ferme le diaphragme d'un objectif photographique pour gagner en netteté.

7. La flèche HS vaut $R - \sqrt{R^2 - h^2} \simeq \dfrac{h^2}{2R}$, soit 0,22 mm pour $h = 6{,}6$ mm, à comparer à $\overline{\text{SA}} \approx 167$ mm. Elle est mille fois plus petite : dans les conditions du stigmatisme approché, il est légitime de confondre H, S et le centre optique O de la lentille équivalente. La distance focale image de la lentille hémisphérique est donc
$$f' = \overline{\text{SA}}_{\text{par}} = \frac{nR}{n-1} - R = \frac{R}{n-1} \approx 167\ \text{mm}$$