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📘 Question de cours
Image d'un objet situé au foyer objet
En utilisant le principe du retour inverse de la lumière, que dire de l'image d'un objet situé sur le foyer objet d'une lentille ?
✅ Correction : Le foyer image F' est par définition l'image d'un objet situé à l'infini sur l'axe optique. Par retour inverse de la lumière, un objet placé au foyer objet F a donc son image à l'infini sur l'axe optique.
Le faisceau émergent est un faisceau de rayons parallèles à l'axe. C'est le principe du collimateur, utilisé pour produire un faisceau parallèle à partir d'une source ponctuelle, et celui du projecteur.
Le faisceau émergent est un faisceau de rayons parallèles à l'axe. C'est le principe du collimateur, utilisé pour produire un faisceau parallèle à partir d'une source ponctuelle, et celui du projecteur.
📝 Exercice 1
Objet « à l'infini »
Soit un point lumineux placé sur l'axe optique d'une lentille convergente de distance focale $f'$ et de diamètre $L$, à une distance $D$ du centre optique. On note $\ell$ la taille de la tache lumineuse résultante située dans le plan focal image, $h$ la taille minimale que peut résoudre l'appareil utilisé pour observer cette tache, et $\alpha$ le diamètre angulaire de la lentille vu depuis l'objet.
1. Faire un schéma de la situation en représentant toutes les grandeurs du problème. Tracer deux rayons en les faisant passer chacun par un bord de la lentille et les prolonger après celle-ci en utilisant les propriétés des lentilles minces.
2. Par construction des rayons lumineux, écrire une relation entre les grandeurs $D$, $L$, $\ell$ et $f'$.
3. Donner l'inégalité que doit vérifier la distance objet-lentille pour que la tache lumineuse observée soit de taille inférieure à la résolution du détecteur. Commenter l'influence de $h$.
4. Comparer la situation précédente au cas d'un objet situé à une distance « infinie » de la lentille. Commenter.
5. Donner un ordre de grandeur de la taille de la tache de diffraction obtenue dans le plan focal image si l'objet émet une lumière visible, et indiquer en quoi cette valeur, dans le cadre de l'optique géométrique, donne une borne inférieure à la taille que peut résoudre le détecteur avec cette lentille.
6. Faire la synthèse des réponses pour expliquer ce qu'est un objet à l'infini.
7. Expliquer, à partir de la formule de conjugaison de Descartes et de vos connaissances sur les lentilles, en quoi l'image se forme dans le plan focal image.
1. Faire un schéma de la situation en représentant toutes les grandeurs du problème. Tracer deux rayons en les faisant passer chacun par un bord de la lentille et les prolonger après celle-ci en utilisant les propriétés des lentilles minces.
2. Par construction des rayons lumineux, écrire une relation entre les grandeurs $D$, $L$, $\ell$ et $f'$.
3. Donner l'inégalité que doit vérifier la distance objet-lentille pour que la tache lumineuse observée soit de taille inférieure à la résolution du détecteur. Commenter l'influence de $h$.
4. Comparer la situation précédente au cas d'un objet situé à une distance « infinie » de la lentille. Commenter.
5. Donner un ordre de grandeur de la taille de la tache de diffraction obtenue dans le plan focal image si l'objet émet une lumière visible, et indiquer en quoi cette valeur, dans le cadre de l'optique géométrique, donne une borne inférieure à la taille que peut résoudre le détecteur avec cette lentille.
6. Faire la synthèse des réponses pour expliquer ce qu'est un objet à l'infini.
7. Expliquer, à partir de la formule de conjugaison de Descartes et de vos connaissances sur les lentilles, en quoi l'image se forme dans le plan focal image.
💡 Indice : L'image A' du point objet ne se forme pas dans le plan focal, mais un peu après : la tache observée dans le plan focal est la section du faisceau convergent à cet endroit. Deux triangles semblables suffisent à la calculer.
✅ Correction : 2. La formule de Descartes donne la position de l'image : $\dfrac{1}{\overline{\text{OA}'}} = \dfrac{1}{f'} - \dfrac{1}{D}$, soit $\overline{\text{OA}'} = \dfrac{f'D}{D-f'}$, située après le plan focal image.
Le faisceau émergent est un cône qui s'appuie sur toute la lentille (diamètre $L$) et converge en A'. Dans le plan focal, à la distance $f'$, le théorème de Thalès donne
$$\frac{\ell}{L} = \frac{\overline{\text{OA}'} - f'}{\overline{\text{OA}'}} = 1 - \frac{f'}{\overline{\text{OA}'}}$$
En remplaçant $\overline{\text{OA}'}$ par son expression, $\dfrac{f'}{\overline{\text{OA}'}} = \dfrac{D-f'}{D} = 1 - \dfrac{f'}{D}$, d'où le résultat remarquablement simple
$$\boxed{\ell = \frac{L f'}{D}}$$
On peut le retrouver directement : $\ell = \alpha f'$ avec $\alpha = L/D$ le diamètre angulaire de la lentille vu depuis l'objet.
3. La tache est indiscernable d'un point si $\ell < h$, soit
$$\frac{Lf'}{D} < h \qquad \text{c'est-à-dire} \qquad D > \frac{Lf'}{h}$$
Plus le détecteur est résolvant (plus $h$ est petit), plus la distance à partir de laquelle l'objet peut être considéré comme à l'infini est grande. La notion d'infini n'a donc rien d'absolu : elle dépend de l'instrument d'observation.
4. Pour un objet réellement à l'infini, les rayons incidents sont parallèles et convergent exactement en F' : la tache est réduite à un point. La condition $D > Lf'/h$ exprime que l'objet, sans être à l'infini, se comporte comme s'il y était du point de vue du détecteur : les deux situations sont expérimentalement indiscernables.
5. La tache de diffraction due à la pupille circulaire de diamètre $L$ a un diamètre angulaire de l'ordre de $\lambda/L$, soit une taille dans le plan focal
$$\ell_{\text{diff}} \sim \frac{\lambda f'}{L}$$
Avec $\lambda = 500$ nm, $f' = 100$ mm et $L = 2$ cm, cela donne quelques micromètres. Aucun détecteur associé à cette lentille ne peut donc résoudre mieux que cette taille : $h$ ne peut pas descendre en dessous de $\ell_{\text{diff}}$. En reportant dans la condition précédente, la distance à partir de laquelle l'objet est à l'infini reste bornée :
$$D > \frac{Lf'}{\ell_{\text{diff}}} \sim \frac{L^2}{\lambda}$$
soit quelques centaines de mètres pour les valeurs ci-dessus. C'est l'optique ondulatoire qui met une limite à un raisonnement d'optique géométrique.
6. Un objet est à l'infini lorsque la tache qu'il forme dans le plan focal image est trop petite pour être distinguée d'un point par le détecteur utilisé. Ce n'est pas une propriété de l'objet seul, mais du triplet objet-lentille-détecteur.
7. La formule de Descartes s'écrit $\dfrac{1}{\overline{\text{OA}'}} = \dfrac{1}{f'} + \dfrac{1}{\overline{\text{OA}}}$. Quand $\overline{\text{OA}} \to -\infty$, le terme $1/\overline{\text{OA}}$ tend vers zéro et $\overline{\text{OA}'} \to f'$ : l'image se forme dans le plan focal image. C'est la définition même du foyer image.
Le faisceau émergent est un cône qui s'appuie sur toute la lentille (diamètre $L$) et converge en A'. Dans le plan focal, à la distance $f'$, le théorème de Thalès donne
$$\frac{\ell}{L} = \frac{\overline{\text{OA}'} - f'}{\overline{\text{OA}'}} = 1 - \frac{f'}{\overline{\text{OA}'}}$$
En remplaçant $\overline{\text{OA}'}$ par son expression, $\dfrac{f'}{\overline{\text{OA}'}} = \dfrac{D-f'}{D} = 1 - \dfrac{f'}{D}$, d'où le résultat remarquablement simple
$$\boxed{\ell = \frac{L f'}{D}}$$
On peut le retrouver directement : $\ell = \alpha f'$ avec $\alpha = L/D$ le diamètre angulaire de la lentille vu depuis l'objet.
3. La tache est indiscernable d'un point si $\ell < h$, soit
$$\frac{Lf'}{D} < h \qquad \text{c'est-à-dire} \qquad D > \frac{Lf'}{h}$$
Plus le détecteur est résolvant (plus $h$ est petit), plus la distance à partir de laquelle l'objet peut être considéré comme à l'infini est grande. La notion d'infini n'a donc rien d'absolu : elle dépend de l'instrument d'observation.
4. Pour un objet réellement à l'infini, les rayons incidents sont parallèles et convergent exactement en F' : la tache est réduite à un point. La condition $D > Lf'/h$ exprime que l'objet, sans être à l'infini, se comporte comme s'il y était du point de vue du détecteur : les deux situations sont expérimentalement indiscernables.
5. La tache de diffraction due à la pupille circulaire de diamètre $L$ a un diamètre angulaire de l'ordre de $\lambda/L$, soit une taille dans le plan focal
$$\ell_{\text{diff}} \sim \frac{\lambda f'}{L}$$
Avec $\lambda = 500$ nm, $f' = 100$ mm et $L = 2$ cm, cela donne quelques micromètres. Aucun détecteur associé à cette lentille ne peut donc résoudre mieux que cette taille : $h$ ne peut pas descendre en dessous de $\ell_{\text{diff}}$. En reportant dans la condition précédente, la distance à partir de laquelle l'objet est à l'infini reste bornée :
$$D > \frac{Lf'}{\ell_{\text{diff}}} \sim \frac{L^2}{\lambda}$$
soit quelques centaines de mètres pour les valeurs ci-dessus. C'est l'optique ondulatoire qui met une limite à un raisonnement d'optique géométrique.
6. Un objet est à l'infini lorsque la tache qu'il forme dans le plan focal image est trop petite pour être distinguée d'un point par le détecteur utilisé. Ce n'est pas une propriété de l'objet seul, mais du triplet objet-lentille-détecteur.
7. La formule de Descartes s'écrit $\dfrac{1}{\overline{\text{OA}'}} = \dfrac{1}{f'} + \dfrac{1}{\overline{\text{OA}}}$. Quand $\overline{\text{OA}} \to -\infty$, le terme $1/\overline{\text{OA}}$ tend vers zéro et $\overline{\text{OA}'} \to f'$ : l'image se forme dans le plan focal image. C'est la définition même du foyer image.
📝 Exercice 2
Homogénéité d'une relation
1. Les grandeurs $U$ et $E_i$ sont des tensions, la grandeur $I$ est un courant et les grandeurs $R_i$ des résistances. En considérant la dimension des résultats proposés, choisir la formule homogène.
a) $U = \dfrac{R_1R_2}{R_1 + R_2}$ b) $U = \dfrac{R_1E_1 + R_1(R_1+R_2)E_2}{R_1+R_2}$ c) $U = \dfrac{R_1R_2I}{R_1+R_2}+R_3E$ d) $U = \dfrac{\frac{E_1}{R_1}+\frac{E_2}{R_2}}{\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}}$
2. Un solide de masse $m$ assimilable à un point matériel glisse sans frottement sur la ligne de plus grande pente d'un plan incliné. Il est abandonné sans vitesse initiale à la hauteur $h$. Choisir la formule homogène :
a) $v = \sqrt{\dfrac{2g}{h}}$ b) $v = \sqrt{2gh}$ c) $v = \sqrt{2mgh}$
3. On utilise une plaquette conductrice parallélépipédique de longueur $L$, de largeur $b$, d'épaisseur $h$, dans laquelle on impose un courant d'intensité $I$ dans la direction de la longueur. Les charges mobiles sont des électrons de charge $q$, dont la densité particulaire est $n^*$ et la vitesse d'ensemble $v$. On admet que $I = -qn^*vbh$. Vérifier l'homogénéité de cette relation.
4. On considère un gaz parfait dont l'équation d'état, reliant sa pression $p$, son volume $V$, sa température $T$ et sa quantité de matière $n$, est $pV = nRT$, où $R$ est la constante des gaz parfaits. Avec $k$ une constante sans dimension, $M$ la masse molaire du gaz et $\rho$ sa masse volumique, déterminer la formule homogène donnant la vitesse de propagation $c$ du son dans ce gaz :
a) $c = \dfrac{kRT}{M}$ b) $c = k\sqrt{\dfrac{RT}{M}}$ c) $c = k\sqrt{\dfrac{RT}{\rho}}$
a) $U = \dfrac{R_1R_2}{R_1 + R_2}$ b) $U = \dfrac{R_1E_1 + R_1(R_1+R_2)E_2}{R_1+R_2}$ c) $U = \dfrac{R_1R_2I}{R_1+R_2}+R_3E$ d) $U = \dfrac{\frac{E_1}{R_1}+\frac{E_2}{R_2}}{\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}}$
2. Un solide de masse $m$ assimilable à un point matériel glisse sans frottement sur la ligne de plus grande pente d'un plan incliné. Il est abandonné sans vitesse initiale à la hauteur $h$. Choisir la formule homogène :
a) $v = \sqrt{\dfrac{2g}{h}}$ b) $v = \sqrt{2gh}$ c) $v = \sqrt{2mgh}$
3. On utilise une plaquette conductrice parallélépipédique de longueur $L$, de largeur $b$, d'épaisseur $h$, dans laquelle on impose un courant d'intensité $I$ dans la direction de la longueur. Les charges mobiles sont des électrons de charge $q$, dont la densité particulaire est $n^*$ et la vitesse d'ensemble $v$. On admet que $I = -qn^*vbh$. Vérifier l'homogénéité de cette relation.
4. On considère un gaz parfait dont l'équation d'état, reliant sa pression $p$, son volume $V$, sa température $T$ et sa quantité de matière $n$, est $pV = nRT$, où $R$ est la constante des gaz parfaits. Avec $k$ une constante sans dimension, $M$ la masse molaire du gaz et $\rho$ sa masse volumique, déterminer la formule homogène donnant la vitesse de propagation $c$ du son dans ce gaz :
a) $c = \dfrac{kRT}{M}$ b) $c = k\sqrt{\dfrac{RT}{M}}$ c) $c = k\sqrt{\dfrac{RT}{\rho}}$
💡 Indice : Une somme n'est homogène que si tous ses termes ont la même dimension : c'est souvent le test le plus rapide, avant même de calculer quoi que ce soit.
Pour la dernière question, se souvenir que $RT$ n'a pas de dimension propre : c'est $nRT$ qui est une énergie, donc $RT$ est une énergie par mole.
Pour la dernière question, se souvenir que $RT$ n'a pas de dimension propre : c'est $nRT$ qui est une énergie, donc $RT$ est une énergie par mole.
✅ Correction : 1. La bonne réponse est d).
a) Le rapport $\dfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}$ est homogène à une résistance, pas à une tension.
b) Le numérateur additionne $R_1E_1$, de dimension $\mathrm{dim}(R)\,\mathrm{dim}(U)$, et $R_1(R_1+R_2)E_2$, de dimension $\mathrm{dim}(R)^2\mathrm{dim}(U)$ : la somme n'est pas homogène.
c) Le premier terme $\dfrac{R_1R_2I}{R_1+R_2}$ est bien une tension, mais le second, $R_3E$, est de dimension $\mathrm{dim}(R)\,\mathrm{dim}(U)$ : la somme n'est pas homogène.
d) Le numérateur est de dimension $\mathrm{dim}(U)/\mathrm{dim}(R) = \mathrm{dim}(I)$, le dénominateur de dimension $1/\mathrm{dim}(R)$. Le quotient est donc de dimension $\mathrm{dim}(I)\,\mathrm{dim}(R) = \mathrm{dim}(U)$ : la relation est homogène.
2. La bonne réponse est b).
a) $\dfrac{g}{h}$ est de dimension $\mathrm{T}^{-2}$, sa racine est l'inverse d'un temps.
b) $gh$ est de dimension $\mathrm{L^2T^{-2}}$, sa racine est bien une vitesse.
c) $mgh$ est une énergie : sa racine n'est pas une vitesse.
3. En notant $\mathrm{I}$ la dimension d'un courant et $\mathrm{Q = IT}$ celle d'une charge :
$$\mathrm{dim}(qn^*vbh) = \mathrm{IT} \times \mathrm{L^{-3}} \times \mathrm{LT^{-1}} \times \mathrm{L} \times \mathrm{L} = \mathrm{I}$$
La relation est bien homogène. Le signe moins n'intervient pas dans l'analyse dimensionnelle : il traduit seulement le signe négatif de la charge de l'électron.
4. La bonne réponse est b).
De $pV = nRT$ on tire que $nRT$ est une énergie, donc $RT$ est une énergie par mole. En divisant par la masse molaire $M$, $\dfrac{RT}{M}$ est une énergie par unité de masse, soit $\mathrm{L^2T^{-2}}$ : c'est le carré d'une vitesse.
a) $\dfrac{RT}{M}$ est un carré de vitesse, pas une vitesse.
b) $\sqrt{\dfrac{RT}{M}}$ est bien une vitesse.
c) $\dfrac{RT}{\rho}$ mélange une grandeur molaire et une grandeur massique : sa dimension est $\mathrm{L^5T^{-2}N^{-1}}$, ce n'est pas le carré d'une vitesse.
a) Le rapport $\dfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}$ est homogène à une résistance, pas à une tension.
b) Le numérateur additionne $R_1E_1$, de dimension $\mathrm{dim}(R)\,\mathrm{dim}(U)$, et $R_1(R_1+R_2)E_2$, de dimension $\mathrm{dim}(R)^2\mathrm{dim}(U)$ : la somme n'est pas homogène.
c) Le premier terme $\dfrac{R_1R_2I}{R_1+R_2}$ est bien une tension, mais le second, $R_3E$, est de dimension $\mathrm{dim}(R)\,\mathrm{dim}(U)$ : la somme n'est pas homogène.
d) Le numérateur est de dimension $\mathrm{dim}(U)/\mathrm{dim}(R) = \mathrm{dim}(I)$, le dénominateur de dimension $1/\mathrm{dim}(R)$. Le quotient est donc de dimension $\mathrm{dim}(I)\,\mathrm{dim}(R) = \mathrm{dim}(U)$ : la relation est homogène.
2. La bonne réponse est b).
a) $\dfrac{g}{h}$ est de dimension $\mathrm{T}^{-2}$, sa racine est l'inverse d'un temps.
b) $gh$ est de dimension $\mathrm{L^2T^{-2}}$, sa racine est bien une vitesse.
c) $mgh$ est une énergie : sa racine n'est pas une vitesse.
3. En notant $\mathrm{I}$ la dimension d'un courant et $\mathrm{Q = IT}$ celle d'une charge :
$$\mathrm{dim}(qn^*vbh) = \mathrm{IT} \times \mathrm{L^{-3}} \times \mathrm{LT^{-1}} \times \mathrm{L} \times \mathrm{L} = \mathrm{I}$$
La relation est bien homogène. Le signe moins n'intervient pas dans l'analyse dimensionnelle : il traduit seulement le signe négatif de la charge de l'électron.
4. La bonne réponse est b).
De $pV = nRT$ on tire que $nRT$ est une énergie, donc $RT$ est une énergie par mole. En divisant par la masse molaire $M$, $\dfrac{RT}{M}$ est une énergie par unité de masse, soit $\mathrm{L^2T^{-2}}$ : c'est le carré d'une vitesse.
a) $\dfrac{RT}{M}$ est un carré de vitesse, pas une vitesse.
b) $\sqrt{\dfrac{RT}{M}}$ est bien une vitesse.
c) $\dfrac{RT}{\rho}$ mélange une grandeur molaire et une grandeur massique : sa dimension est $\mathrm{L^5T^{-2}N^{-1}}$, ce n'est pas le carré d'une vitesse.
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